一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
已知,$a>0$ 是常数,连续函数 $f(x)$ 满足 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=b$, $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}=f(x)$ $\quad (x \in[0,+\infty))$ 的解,则:
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}(x)=?
$$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime \prime}(x)=?
$$
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
如果本题要求解 $y(x)$, 那么直接用公式法就很合适:
$$
y(x) = [\int f(x) \cdot e^{\int a \mathrm{~ d} x} \mathrm{~ d} x + C] \cdot e^{- \int a \mathrm{~ d} x}
$$
但是,本题最终要求解的是 $y^{\prime}$ 和 $y^{\prime \prime}$, 如果我们用了公式法,则还需要在回头求导,这就增加了计算的复杂度,因此,我们可以考虑使用常数变易法,因为常数变易法能够将计算过程中涉及的中间量“暴露”出来。
$$
y^{\prime \prime}+a y^{\prime}=f(x) \Rightarrow
$$
$$
e^{\int a \mathrm{~ d} x}\left[y^{\prime \prime}+a y^{\prime}\right]=e^{\int a \mathrm{~ d} x} \cdot f(x) \Rightarrow
$$
$$
y^{\prime \prime} \cdot e^{a x}+a y^{\prime} \cdot e^{a x}=e^{a x} \cdot f(x) \Rightarrow
$$
$$
{\left[y^{\prime} \cdot e^{a x}\right]_{x}^{\prime}=e^{a x} \cdot f(x) \Rightarrow}
$$
$$
\int\left[y^{\prime} \cdot e^{a x}\right]_{x}^{\prime} \mathrm{~ d} x=\int e^{a x} \cdot f(x) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
$$
y^{\prime} \cdot e^{a x}+C_{0}=\int e^{a x} \cdot f(x) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
$$
y^{\prime}=C_{1} e^{-a x}+\frac{\int e^{a x} \cdot f(x) \mathrm{~ d} x}{e^{a x}} \Rightarrow
$$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} C_{1} e^{-a x}+\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\int e^{a x} \cdot f(x) \mathrm{~ d} x }{e^{a x}}
$$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}=0+\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{a x} \cdot f(x)}{a e^{a x}} \Rightarrow
$$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}=\frac{b}{a}
$$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}=\frac{b}{a} \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left[y^{\prime \prime} \cdot e^{a x}+a y^{\prime} \cdot e^{a x}=e^{a x} f(x)\right.
$$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left[y^{\prime \prime} \cdot e^{a x}+a \cdot \frac{b}{a} e^{a x}=e^{a x} \cdot b\right] \Rightarrow
$$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left[y^{\prime \prime}+b=b\right] \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime \prime}=0
$$
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。