对于二阶常系数非齐次微分方程,当需要直接求函数解时可以用公式法,当需要用到中间的某些量时可以用常数变易法

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,$a>0$ 是常数,连续函数 $f(x)$ 满足 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=b$, $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}=f(x)$ $\quad (x \in[0,+\infty))$ 的解,则:

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}(x)=?
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime \prime}(x)=?
$$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

如果本题要求解 $y(x)$, 那么直接用公式法就很合适:

$$
y(x) = [\int f(x) \cdot e^{\int a \mathrm{~ d} x} \mathrm{~ d} x + C] \cdot e^{- \int a \mathrm{~ d} x}
$$

但是,本题最终要求解的是 $y^{\prime}$ 和 $y^{\prime \prime}$, 如果我们用了公式法,则还需要在回头求导,这就增加了计算的复杂度,因此,我们可以考虑使用常数变易法,因为常数变易法能够将计算过程中涉及的中间量“暴露”出来。

$$
y^{\prime \prime}+a y^{\prime}=f(x) \Rightarrow
$$

$$
e^{\int a \mathrm{~ d} x}\left[y^{\prime \prime}+a y^{\prime}\right]=e^{\int a \mathrm{~ d} x} \cdot f(x) \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime} \cdot e^{a x}+a y^{\prime} \cdot e^{a x}=e^{a x} \cdot f(x) \Rightarrow
$$

$$
{\left[y^{\prime} \cdot e^{a x}\right]_{x}^{\prime}=e^{a x} \cdot f(x) \Rightarrow}
$$

$$
\int\left[y^{\prime} \cdot e^{a x}\right]_{x}^{\prime} \mathrm{~ d} x=\int e^{a x} \cdot f(x) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime} \cdot e^{a x}+C_{0}=\int e^{a x} \cdot f(x) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}=C_{1} e^{-a x}+\frac{\int e^{a x} \cdot f(x) \mathrm{~ d} x}{e^{a x}} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} C_{1} e^{-a x}+\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\int e^{a x} \cdot f(x) \mathrm{~ d} x }{e^{a x}}
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}=0+\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{a x} \cdot f(x)}{a e^{a x}} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}=\frac{b}{a}
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}=\frac{b}{a} \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left[y^{\prime \prime} \cdot e^{a x}+a y^{\prime} \cdot e^{a x}=e^{a x} f(x)\right.
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left[y^{\prime \prime} \cdot e^{a x}+a \cdot \frac{b}{a} e^{a x}=e^{a x} \cdot b\right] \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left[y^{\prime \prime}+b=b\right] \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime \prime}=0
$$


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