应用恒等变形解题的核心思想：题目给啥我变啥

一、题目

已知函数 $f(x)$ 连续, $\underset{x\to 1}{lim}\frac{f(x)-1}{\ln x}=2$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $x=1$ 处的切线方程为 ( $$ )

难度评级：

二、解析

由题可知，只要求解出了下式中的 $f(1)$ 和 $f^{\prime }(1)$ 即可完成解题：

$$y–f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$$

首先，利用函数 $f(x)$ 的连续性求解 $f(1)$（绿色部分为恒等变形）：

$$\begin{array}{rl}f(1)=& \underset{x\to 1}{lim}f(x)\\ =& \underset{x\to 1}{lim}[f(x)-1+1]\\ =& 1+\underset{x\to 1}{lim}[f(x)-1]\\ =& 1+\underset{x\to 1}{lim}\frac{f(x)-1}{\ln x}\cdot \ln x\\ =& 1+2\ln x\\ =& 1+2\cdot 0=1\end{array}$$

接着，利用一点处导数的定义求解 $f^{\prime }(1)$（绿色部分为恒等变形）：

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(1)=& \underset{x\to 1}{lim}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\\ =& \underset{x\to 1}{lim}\frac{f(x)-1}{x-1}\\ =& \underset{x\to 1}{lim}\frac{f(x)-1}{\ln x}\cdot \frac{\ln x}{x-1}\\ =& 2\underset{x\to 1}{lim}\frac{\ln x}{x-1}\\ =& 2\underset{x\to 1}{lim}\frac{\ln [(x-1)+1]}{x-1}\\ =& 2\underset{x\to 1}{lim}\frac{x-1}{x-1}=2\end{array}$$

于是可知，对应的切线方程为：

$$y-1=2(x-1)\Rightarrow$$

$$y=2x-1$$

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