一、题目
已知 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续,则 “$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在” 是 “$f(x)$ 为 $[a,+\infty)$ 上的有界函数” 的充要条件吗?
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二、解析
由于 $f(x)$ 区间的左端是闭区间,因此,左端一定是有界的。
那么,如果 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在,则说明 $f(x)$ 的右端也是有界的,因此 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在是 $f(x)$ 有界的充要条件。
但是,$f(x)$ 有界不一定意味着 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在,例如,在 $x \rightarrow + \infty$ 时,$f(x)$ 如果震荡有界,算是有界函数,但此时并不存在极限。
综上,$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在 是 $f(x)$ 为 $[a,+\infty)$ 上的有界函数的充分但非必要条件。
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