极限存在会有界，但有界不一定存在极限

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上连续，则 “$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ 存在” 是 “$f(x)$ 为 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上的有界函数” 的充要条件吗？

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二、解析

由于 $f(x)$ 区间的左端是闭区间，因此，左端一定是有界的。

那么，如果 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ 存在，则说明 $f(x)$ 的右端也是有界的，因此 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ 存在是 $f(x)$ 有界的充要条件。

但是，$f(x)$ 有界不一定意味着 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ 存在，例如，在 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时，$f(x)$ 如果震荡有界，算是有界函数，但此时并不存在极限。

综上，$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ 存在 是 $f(x)$ 为 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上的有界函数的充分但非必要条件。

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