极限存在会有界,但有界不一定存在极限

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续,则 “$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在” 是 “$f(x)$ 为 $[a,+\infty)$ 上的有界函数” 的充要条件吗?

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二、解析 解析 - 荒原之梦

由于 $f(x)$ 区间的左端是闭区间,因此,左端一定是有界的。

那么,如果 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在,则说明 $f(x)$ 的右端也是有界的,因此 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在是 $f(x)$ 有界的充要条件。

但是,$f(x)$ 有界不一定意味着 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在,例如,在 $x \rightarrow + \infty$ 时,$f(x)$ 如果震荡有界,算是有界函数,但此时并不存在极限。

综上,$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在 是 $f(x)$ 为 $[a,+\infty)$ 上的有界函数的充分但非必要条件。


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