一点处的导数存在指的是该点处的左右导数都存在，但一点处的极限存在只需要一侧存在即是存在

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域有定义，且 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \varphi(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充分必要条件吗？

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二、解析

首先，题目所问的问题其实就是 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$ 和 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$ 能否互相推导的问题。

分析可知，$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$ 存在意味着不无论是 $x \rightarrow 0^{+}$ 还是 $x \rightarrow 0^{-}$ 都要存在，也就是一点处的导数存在，则其左右导数均存在。

但是，$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \varphi(x)=0$ 并不能保证 $x$ 一定趋于 $0^{+}$ 或者 $x$ 一定趋于 $0^{-}$, 例如，当 $\varphi(x)=x^{2}$ 时，只有：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \varphi(x) \rightarrow 0^{+}
$$

因此：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)} \nRightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}
$$

接着分析，当 $x \rightarrow 0$ 时，$\varphi(x)$ 不一定是趋于零的，而可能是直接等于零，或者在部分点处直接等于零，例如当 $\varphi(x)=0$ 或者当 $\varphi(x)=x \sin \frac{1}{x}$ 时都存在这个情况，此时，由于分母不能等于零，于是可知：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} \nRightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}
$$

当然，如果我们限定了 $\varphi(x) \rightarrow 0^{-}$ 和 $\varphi(x) \rightarrow 0^{+}$ 都存在，则可以由 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$ 推出 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$.

同时，如果我们限定了 $\varphi(x) \neq 0$, 则也可以由 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$ 推出 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$.

综上可知，$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导既非充分也非必要条件。

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