函数斜渐近线的方程一定需要分正负无穷大分别讨论吗？

一、题目

曲线 $y$ $=$ $x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜渐近线方程是多少？

难度评级：

二、解析

Tips:

在求解斜渐近线的时候，如果 $x \rightarrow + \infty$ 和 $x \rightarrow – \infty$ 对式子结果的影响是一样的，那么，我们就可以只考虑 $x \rightarrow \infty$ 的情况。

例如，若 $x \rightarrow + \infty$ 时会产生 $0^{+}$, $x \rightarrow – \infty$ 时会产生 $0^{-}$, 且式子中仅存在对 $0^{+}$ 和 $0^{-}$ 的加减运算，那么，其作用和加减 $0$ 并无区别，这时候，就可以只考虑 $x \rightarrow \infty$.

要求解斜渐近线，就是要求解出下面表达式中的 $k$ 和 $b$:

$$
y = k x + b
$$

于是：

$$
y=x \ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right) \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{ \mathbf{ k }=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \mathbf{ \frac{y}{x} } }=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \ln \left(e+\frac{1}{x}\right)=\log _{e} ^{e} = 1
$$

接着：

$$
\textcolor{orange}{ \mathbf{ b }=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}( \mathbf{ y-k x } ) }=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}(y-x)=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left[x \ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)-x\right]=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \infty} x\left[\ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)-1\right]=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)-1}{\frac{1}{x}} \Rightarrow \text{ 洛必达运算 } \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left[\frac{\frac{-1}{(x-1)^{2}}}{e+\frac{1}{x-1}} / \frac{-1}{x^{2}}\right]=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{(x-1)^{2}\left(e+\frac{1}{x-1}\right)}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{x^{2}\left(e+\frac{1}{x-1}\right)} =
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{e+\frac{1}{x-1}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{e+\frac{1}{x}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{e+0}=\frac{1}{e}$$

综上可知，斜渐近线为：

$$
\textcolor{orange}{
y=k x+b=x+\frac{1}{e}
}
$$

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