有些解微分方程的题目需要先「求导」

一、题目

已知，函数 $f(t)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上连续, 且满足方程 $f(t)=t^2+{\iint }_{x^2+y^2⩽t^2}f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$, 则 $f(t)=?$

难度评级：

二、解析

本题中的式子等号两边都有含有未知函数 $f(t)$ 或者其变形形式，因此，直接通过这个式子我们是没办法求解出未知函数 $f(t)$ 的，只能通过求导将其转换为微分方程后在寻找求解办法。

由于题目所给式子的等号右边的 ${\iint }_{x^2+y^2⩽t^2}f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 积分区域和被积函数都与圆形有关，因此，我们先转换为极坐标系，这样可以方便求导运算：

$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}\Rightarrow x^2+y^2\le t^2\Rightarrow r\in (0,t)\Rightarrow$$

$$\theta \in (0,2\pi ),\sqrt{x^2+y^2}=r\Rightarrow$$

于是：

$${\iint }_{x^2+y^2\le t^2}f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{D}f(r)\cdot r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta =$$

$${\int }_0^{t}f(r)\cdot r\cdot \mathrm{d}r{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta =2\pi {\int }_0^{t}rf(r)\mathrm{d}r\Rightarrow$$

进而：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f(t)=t^2+2\pi {\int }_0^{t}rf(r)\mathrm{d}r\end{array}$$

对 $(1)$ 式求导：

$$f^{\prime }(t)=2t+2\pi tf(t)\Rightarrow$$

变形：

$$f^{\prime }(t)-2\pi tf(t)=2t\Rightarrow$$

套一阶微分方程公式：

$$f(t)=[\int 2t\cdot e^{\int -2\pi t\mathrm{d}t}\mathrm{d}t+C]\cdot e^{\int 2\pi t\mathrm{d}t}\Rightarrow$$

$$f(t)=[\int 2t\cdot e^{-\pi t^2}\mathrm{d}t+C]\cdot e^{\pi t^2}\Rightarrow$$

$$f(t)=[-\frac{1}{\pi }\int e^{-\pi t^2}\mathrm{d}(-\pi t^2)+C{e}^{\pi t^2}\Rightarrow$$

$$f(t)=[-\frac{1}{\pi }{e}^{-\pi t^2}+C]e^{\pi t^2}\Rightarrow$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& f(t)=-\frac{1}{\pi }+C{e}^{\pi t^2}\end{array}$$

又由 $(1)$ 式可知：

$$f(0)=0$$

因此：

$$(2)\Rightarrow f(0)=-\frac{1}{\pi }+C\Rightarrow C=\frac{1}{\pi }\Rightarrow$$

$$f(t)=-\frac{1}{\pi }+\frac{1}{\pi }{e}^{\pi t^2}$$

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