有些解微分方程的题目需要先「求导」

一、题目

已知，函数 $f(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续, 且满足方程 $f(t)=t^{2}+\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 则 $f(t)=?$

难度评级：

二、解析

本题中的式子等号两边都有含有未知函数 $f(t)$ 或者其变形形式，因此，直接通过这个式子我们是没办法求解出未知函数 $f(t)$ 的，只能通过求导将其转换为微分方程后在寻找求解办法。

由于题目所给式子的等号右边的 $\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 积分区域和被积函数都与圆形有关，因此，我们先转换为极坐标系，这样可以方便求导运算：

$$
\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array} \Rightarrow x^{2}+y^{2} \leq t^{2} \Rightarrow r \in(0, t)\right. \Rightarrow
$$

$$
\theta \in(0,2 \pi), \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r \Rightarrow
$$

于是：

$$
\iint_{x^{2}+y^{2} \leq t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y=\iint_{D} f(r) \cdot r \mathrm{~ d} r \mathrm{~ d} \theta=
$$

$$
\int_{0}^{t} f(r) \cdot r \cdot \mathrm{~ d} r \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~ d} \theta=2 \pi \int_{0}^{t} r f(r) \mathrm{~ d} r \Rightarrow
$$

进而：

$$
\textcolor{springgreen}{
f(t)=t^{2}+2 \pi \int_{0}^{t} r f(r) \mathrm{~ d} r } \tag{1}
$$

对 $(1)$ 式求导：

$$
f^{\prime}(t)=2 t+2 \pi t f(t) \Rightarrow
$$

变形：

$$
f^{\prime}(t)-2 \pi t f(t)=2 t \Rightarrow
$$

套一阶微分方程公式：

$$
f(t) = \left[\int 2 t \cdot e^{\int-2 \pi t \mathrm{~ d} t} \mathrm{~ d} t+C\right] \cdot e^{\int 2 \pi t \mathrm{~ d} t} \Rightarrow
$$

$$
f(t)=\left[\int 2 t \cdot e^{-\pi t^{2}} \mathrm{~ d} t+C\right] \cdot e^{\pi t^{2}} \Rightarrow
$$

$$
f(t)=\left[-\frac{1}{\pi} \int e^{-\pi t^{2}} \mathrm{~ d} \left(-\pi t^{2}\right)+C e^{\pi t^{2}} \Rightarrow\right.
$$

$$
f(t)=\left[-\frac{1}{\pi} e^{-\pi t^{2}}+C\right] e^{\pi t^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
f(t)=-\frac{1}{\pi}+C e^{\pi t^{2}} } \tag{2}
$$

又由 $(1)$ 式可知：

$$
f(0)=0
$$

因此：

$$
(2) \Rightarrow f(0)=-\frac{1}{\pi}+C \Rightarrow C = \frac{1}{\pi} \Rightarrow
$$

$$
f(t)=-\frac{1}{\pi}+\frac{1}{\pi} e^{\pi t^{2}}
$$

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