这里的 “y” 真的只是 “y”

一、题目

不恒为零的可导函数 $f(x)$, 对任意的 $x, y$ 恒有 $f(x+y)=f(x) f(y)$, 则 $f(x)=?$

难度评级：

二、解析

在本题中，$x$ 和 $y$ 的「角色」是等同的，$y$ 不是 $x$ 的函数。

由于，题目中要求解 $f(x)$, 因此，我们需要突出 $f(x)$, 所以就不能对 $f(x+y)=f(x) f(y)$ 中的 $x$ 求导，而应该对 $f(x+y)=f(x) f(y)$ 中的 $y$ 求导，将 $x$ 和 $f(x)$ 看成常数：

$$
f(x+y)=f(x) f(y) \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
f^{\prime}(x+y)=f(x) f^{\prime}(y) } \tag{1}
$$

接着，令 $y=0$:

$$
f^{\prime}(x)=f(x) \cdot f^{\prime}(0) \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=C e^{f^{\prime}(0) x} \Rightarrow
$$

$$
C_{1}=f^{\prime}(0), C \neq 0
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
f(x)=C e^{C_{1} x} } \tag{2}
$$

将 $(2)$ 代入原式：

$$
f(x+y)=f(x) f(y) \Rightarrow
$$

$$
C e^{C_{1}(x+y)}=C e^{C_{1} x} C e^{C_{1} y} \Rightarrow
$$

$$
C=1 \Rightarrow
$$

$$
f(x)=e^{C_{1} x}
$$

其中，$C_{1}$ 为任意常数。

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