有根号又有平方的累次积分怎么求解？用极坐标系试一试吧！

一、题目

$$
I=\int_{-1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{1-\sqrt{1-x^{2}}}^{-x} \frac{\mathrm{d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}=?
$$

难度评级：

二、解析

由题可得：

$$
I=\int_{-1}^{0} \mathrm{~ d} x \int_{1-\sqrt{1-x^{2}}}^{-x} \frac{\mathrm{~ d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}=
$$

$$
\iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \cdot \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} \mathrm{~ d} y \Rightarrow
$$

转为极坐标系下的形式：

$$
\begin{cases}
& x=r \cos \theta; \\
& y=r \sin \theta
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
I=\iint_{D} \frac{r}{r \cdot \sqrt{4-r^{2}}} \mathrm{~ d} r \Rightarrow
$$

$$
I=\iint_{D} \frac{1}{\sqrt{4-r^{2}}} \mathrm{~ d} r.
$$

接下来，我们确定积分区域 $D$:

$$
y=1-\sqrt{1-x^{2}} \Rightarrow \sqrt{1-x^{2}}=1-y \Rightarrow
$$

$$
1-x^{2}=1+y^{2}-2 y \Rightarrow x^{2}+y^{2}-2 y=0 \Rightarrow
$$

$$
x^{2}+(y-1)^{2}=1.
$$

根据上面的计算结果，我们可以绘制出如下积分区域 $D$:

接下来，用极坐标系的方程表示该积分区域：

$$
x^{2}+y^{2}-2 y=0 \Rightarrow r^{2} \cos ^{2} \theta+r^{2} \sin ^{2} \theta-
$$

$$
2 r \sin \theta=0 \Rightarrow r^{2}-2 r \sin \theta=0 \Rightarrow r \neq 0
$$

$$
\Rightarrow r-2 \sin \theta=0 \Rightarrow r=2 \sin \theta \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& r \in(0,2 \sin \theta); \\
& \theta \in\left(\frac{3}{4} \pi, \pi\right)
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
I=\iint_{D} \frac{1}{\sqrt{4-r^{2}}} \mathrm{~ d} r=\int_{\frac{3}{4} \pi}^{\pi} \mathrm{~ d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} \frac{1}{\sqrt{4-r^{2}}} \mathrm{~ d} r \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{\frac{3}{4} \pi}^{\pi} \mathrm{~ d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} \frac{1}{2 \sqrt{1-\left(\frac{r}{2}\right)^{2}}} \mathrm{~ d} r \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{\frac{3}{4} \pi}^{\pi} \mathrm{~ d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} 2 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{r}{2}\right)^{2}}} \mathrm{~ d} \left(\frac{r}{2}\right) \Rightarrow
$$

Tips:
关于上面这步计算计算过程有个“小坑”，可以查看这篇《避坑指南》获取更详细的解析。

$$
I=\int_{\frac{3}{4} \pi}^{\pi} \mathrm{~ d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{n}{2}\right)^{2}}} \mathrm{~ d} \left(\frac{r}{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{\frac{3}{4} \pi}^{\pi}\left[\left.\arcsin \left(\frac{r}{2}\right)\right|_{0} ^{2 \sin \theta}\right] \mathrm{~ d} \theta=
$$

$$
I=\int_{\frac{3}{4} \pi}^{\pi} \arcsin (\sin \theta) \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

Tips:
在本题中，$\arcsin (\sin \theta)$ $\neq$ $\theta$, 具体原因可以查看《arcsin(sin x) 一定等于 x 吗？不一定哦！》这篇文章。

$$
I=(\pi-\theta) \Big|_{\frac{3}{4} \pi}^{\pi} =\pi \cdot \frac{1}{4} \pi-\frac{1}{2} \theta^{2} \Big|_{\frac{3}{4} \pi}^{\pi} \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{\pi^{2}}{4}-\frac{1}{2}\left(\pi^{2}-\frac{9}{16} \pi^{2}\right)=\frac{8 \pi^{2}-7 \pi^{2}}{32}=\frac{\pi^{2}}{32}.
$$

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