这个「反直觉」的微分方程你会解吗？

一、题目

把 $x^{2}$ 看成 $y$ 的函数,求解微分方程 $\left(y^{4}-3 x^{2}\right) \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} x=0$, 则该方程的通解是（ ）

难度评级：

二、解析

将原式变形出更多的 $x^{2}$ 并写成一阶线性微分方程的形式：

$$
\left(y^{4}-3 x^{2}\right) \mathrm{~ d} y+x y \mathrm{~ d} x=0 \Rightarrow
$$

$$
\left(y^{4}-3 x^{2}\right) \mathrm{~ d} y+\frac{1}{2} y \mathrm{~ d} \left(x^{2}\right)=0 \Rightarrow
$$

$$
2\left(y^{4}-3 x^{2}\right) \mathrm{~ d} y+y \mathrm{~ d} \left(x^{2}\right)=0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{2\left(y^{4}-3 x^{2}\right)}{y}+\frac{\mathrm{~ d} \left(x^{2}\right)}{\mathrm{~ d} y}=0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{~ d} \left(x^{2}\right)}{\mathrm{~ d} y}-\frac{6}{y} x^{2}= – 2y^{3}
$$

代入公式：

$$
y=\left[\int-2 y^{3} e^{\int-\frac{6}{y} \mathrm{~ d} y} \mathrm{~ d} y+C\right] \cdot e^{\int \frac{6}{y} \mathrm{~ d} y}
$$

$$
y=\left[-2 \int y^{3} \cdot y^{-6} \mathrm{~ d} y+C\right] \cdot y^{6} \Rightarrow
$$

$$
y=\left[-2 \int y^{-3} \mathrm{~ d} y+C\right] \cdot y^{6} \Rightarrow
$$

$$
y=\left[-2 \cdot \frac{1}{(-2)} \cdot y^{-2}+C\right] y^{6} \Rightarrow
$$

$$
y=y^{4}+C y^{6}
$$

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