利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性化简积分运算

一、题目

已知积分区域 $D$ $=$ $\left\{(x, y) \Big| | x|\leqslant 1, \quad |y| \leqslant 1, \quad \mathrm{~d} x^{2}+y^{2} \geqslant x\right \}$, 则：

$$
\iint_{D}|x y| \mathrm{d} \sigma = ?
$$

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二、解析

由题知：

$$
|x| \leqslant 1 \Rightarrow-1 \leqslant x \leqslant 1 \quad|y| \leqslant 1 \Rightarrow-1 \leqslant y \leqslant 1
$$

$$
x^{2}+y^{2} \geqslant x \Rightarrow x^{2}+y^{2}-x \geqslant 0 \Rightarrow \ \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+y^{2} \geqslant \frac{1}{4}
$$

于是，我们可以绘制出如下积分区域图（阴影部分）：

接着，由积分区域的特点可知：

$$
\iint_{D}|x y| \mathrm{~d} \sigma=\iint_{D_{1}}|x y| \mathrm{~d} \sigma-\iint_{D_{2}}|x y| \mathrm{~d} \sigma
$$

由于 $|xy|$ 关于 $x$ 和 $y$ 都是偶函数，因此，$|xy|$ 在区域 $D_{1}$ 上的积分就相当于 $|xy|$ 在关于 $x$ 轴和 $y$ 轴都对称的区域 $D_{1}$ 在第一象限内积分的 $4$ 倍，因此：

$$
\iint_{D_{1}}|x y| \mathrm{~d} \sigma=4 \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1}|x y| \mathrm{~d} y \Rightarrow
$$

$$
4 \int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} y \mathrm{~d} y=4 \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x= \ 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=1
$$

又由于积分区域 $D_{2}$ 关于 $x$ 轴对称，而被积函数 $|xy|$ 关于 $y$ 是偶函数，因此，$|xy|$ 在区域 $D_{2}$ 上的积分就相当于在 $D_{2}$ 位于第一项象限内积分的 $2$ 倍。

又：

$$
x^{2}+y^{2}-x=0 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array} \Rightarrow\right.
$$

$$
r^{2}-r \cos \theta=0 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}r=0 \\ r=\cos \theta .\end{array}\right.
$$

于是：

$$
\iint_{D_{2}}|x y| \mathrm{~d} \sigma = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\cos \theta} r \cdot r \cos \theta \cdot r \sin \theta \mathrm{~d} r \Rightarrow
$$

$$
2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\cos \theta} r^{3} \sin \theta \cdot \cos \theta \mathrm{~d} r \Rightarrow
$$

$$
2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \cdot \cos \theta \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\cos \theta} r^{3} \mathrm{~d} r \Rightarrow
$$

$$
2 \cdot \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \cos ^{5} \theta \mathrm{~d} \theta \Rightarrow
$$

$$
\frac{-1}{2} \int_{1}^{0} \cos ^{5} \theta d(\cos \theta) \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{5} \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} t \Big|_{0} ^{1}=\frac{1}{12}.
$$

综上可知：

$$
\iint_{D}|x y| \mathrm{~d} \sigma = 1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}
$$

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