计算平面曲线的弧长：附考研数学中计算平面曲线弧长的全部公式

一、题目

曲线 $r=a \mathrm{e}^{b \theta}(a>0, b>0)$ 从 $\theta=0$ 到 $\theta=\alpha(\alpha>0)$ 的一段弧长可以表示为（）

难度评级：

二、解析

计算平面曲线弧长的三个公式

普通方程：
$$
\textcolor{blue}{
L: y=f(x), a \leq x \leq b, l=\int_{a}^{b} \sqrt{1+f^{\prime \ 2}(x)} \mathrm{~ d} x
}
$$

参数方程：
$$
\textcolor{blue}{
L:\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}, \alpha \leqslant t \leqslant \beta, l=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{x^{\prime \ 2}(t)+y^{\prime \ 2}(t)} \mathrm{~ d} t\right.
}
$$

极坐标方程：
$$
\textcolor{blue}{
L=\rho(\theta), \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta, l=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\rho^{2} (\theta)+\rho^{\prime \ 2}(\theta)} \mathrm{~ d} \theta
}
$$

方法一：使用极坐标方程形式求解平面曲线弧长

$$
r=a e^{b \theta} \quad r^{\prime}=a b e^{b \theta}
$$

$$
l=\int_{0}^{\alpha} \sqrt{\left(a e^{b \theta}\right)^{2}+\left(a b e^{b \theta}\right)^{2}} \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

$$
l=\int_{0}^{\alpha} a e^{b \theta} \sqrt{1+b^{2}} \mathrm{~ d} \theta
$$

方法二：使用参数方程形式求解平面曲线弧长

$$
r=a l e^{b \theta} \Rightarrow
$$

$$
x=r \cos \theta=a e^{b \theta} \cdot \cos \theta
$$

$$
y=r \sin \theta=a e^{b \theta} \cdot \sin \theta
$$

又：

$$
[x(\theta)]_{\theta}^{\prime}=a b e^{b \theta} \cos \theta-a e^{b \theta} \sin \theta
$$

$$
[y(\theta)]_{\theta}^{\prime}=a b e^{b \theta} \sin \theta+a e^{b \theta} \cos \theta
$$

于是：

$$
\left[x^{\prime}(\theta)\right]^{2}+\left[y^{\prime}(\theta)\right]^{2}=
$$

$$
\left(a b e^{b \theta} \cos \theta-a e^{b \theta} \sin \theta\right)^{2}+
$$

$$
\left(a b e^{b \theta} \sin \theta+a e^{b \theta} \cos \theta\right)^{2}=
$$

$$
\left(a b e^{b \theta} \cos \theta\right)^{2}+\left(a e^{b \theta} \sin \theta\right)^{2}+
$$

$$
\left(a b e^{b \theta} \sin \theta\right)^{2}+\left(a e^{b \theta} \cos \theta\right)^{2} =
$$

$$
\left(a b e^{b \theta}\right)^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)+
$$

$$
\left(a e^{b \theta}\right)^{2}\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right)=
$$

$$
\left(a b e^{b \theta}\right)^{2}+\left(a e^{b \theta}\right)^{2}
$$

于是：

$$
l=\int_{0}^{\alpha} \sqrt{\left(a b e^{b \theta}\right)^{2}+\left(a e^{b \theta}\right)^{2}} \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

$$
l=\int_{0}^{\alpha} a e^{b \theta} \sqrt{b^{2}+1} \mathrm{~ d} \theta
$$

---