1987 年考研数二真题解析

十、解答题 (本题满分 10 分)

在第一象限内求曲线 $y=-x^2+1$ 上的一点, 使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围 成的图形面积为最小, 并求此最小面积.

根据题目，我们可以绘制出如图 02 所示的示意图：

设切点为 $(x_1,y_1)$, 则：

$$y=-x^2+1\Rightarrow y^{\prime }=-2x\Rightarrow$$

即斜率为：

$$k=-2x_1$$

对应的切线为：

$$y-y_1=-2x_1(x-x_1)$$

在 $x$ 轴上的截距为：

$$x=0\Rightarrow b=y=2x_1^2+y_1=2x_1^2+(-x_1^2+1)\Rightarrow$$

$$b=x_1^2+1$$

在 $y$ 轴上的截距为：

$$y=0\Rightarrow -y_1=-2x_1(a-x_1)\Rightarrow$$

$$-y_1=-2a{x}_1+2x_1^2\Rightarrow x_1^2-1=-2a{x}_1+2x_1^2$$

$$2a{x}_1=x_1^2+1\Rightarrow$$

$$a=\frac{x_1^2+1}{2x_1}$$

于是，要求解的三角形的面积表达式为：

$$S=\frac{1}{2}ab=\frac{{(x_1^2+1)}^2}{4x_1}$$

一阶导等于零的点为：

$$S^{\prime }\left(x_1\right)=0\Rightarrow$$

$$\frac{2(x_1^2+1)\cdot 2x_1\cdot 4x_1-4{(x_1^2+1)}^2}{16x_1^2}=0\Rightarrow$$

$$16x_1^2(x_1^2+1)-4{(x_1^2+1)}^2=0\Rightarrow$$

$$4x_1^2(x_1^2+1)-{(x_1^2+1)}^2=0$$

$$(x_1^2+1)[4x_1^2-(x_1^2+1)]=0\Rightarrow$$

$$4x_1^2=(x_1^2+1)\Rightarrow x_1^2=1\Rightarrow$$

$$x_1=\frac{1}{\sqrt{3}},x_1=\frac{-1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \text{ 舍去 }$$

接着求解二阶导，只要一阶导中等于零的点在二阶导中大于零，就能说明这是一个极小值点（由于只有 $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 这一个极值点，因此，在考试的时候，我们可以直接写出 $S^{\prime \prime }\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)>0$ 这一个结论——因为 $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 一定是要找的极小值点）：

$$S^{\prime }(x)=\frac{2(x^2+1)\cdot 8x^2-4(x+1{)}^2}{16x^2}\Rightarrow$$

$$S^{\prime }(x)=\frac{16x^2(x^2+1)-4(x+1{)}^2}{16x^2}\Rightarrow$$

$$S^{\prime }(x)=(x^2+1)-\frac{(x+1{)}^2}{4x^2}\Rightarrow$$

$$S^{\prime \prime }(x)=2x-\frac{2(x+1)\cdot 4x^2-8x(x+1{)}^2}{16x^4}$$

$$x=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow$$

$$S^{\prime \prime }\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{2(\frac{1}{\sqrt{3}}+1)\cdot \frac{4}{3}-\frac{8}{\sqrt{3}}{(\frac{1}{\sqrt{3}}+1)}^2}{16\times \frac{1}{9}}>0$$

于是可知，最小的面积为：

$$S–{\int }_0^1(-x^2+1)\mathrm{d}x=$$

$$\frac{{(x_1^2+1)}^2}{4x_1}–{\int }_0^1(-x^2+1)\mathrm{d}x=$$

$$\frac{4\sqrt{3}}{9}–\frac{2}{3}.$$

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