在一阶微分方程中，哪个变量更“简单”就把哪个变量看做因变量处理

一、题目

微分方程 $(x \tan y+\sin 2 y) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=1$ 满足 $y(0)=0$ 的特解是多少？

难度评级：

二、解析

方法一：常数变易法

由于原式中含有 $x$ 的部分更简单，而含有 $y$ 的部分较复杂，因此，我们考虑将 $y$ 看做自变量，将 $x$ 看做因变量，即将 $x$ 看做 $y$ 的函数 $x(y)$, 于是：

$$
(x \tan y+\sin 2 y) \frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{x \tan y+\sin 2 y} \frac{\mathrm{~ d} x}{\mathrm{~ d} y}=1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{~ d} x}{\mathrm{~ d} y}=x \tan y+\sin 2 y \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orangered}{
\frac{\mathrm{~ d} x}{\mathrm{~ d} y}-x \tan y=\sin 2 y
} \tag{1}
$$

根据常数变易法，令：

$$
\textcolor{springgreen}{
\mu(y)=e^{-\int p(y)} \mathrm{~ d} y=e^{-\int \tan y} \mathrm{~ d} y } \Rightarrow
$$

$$
\mu(y) = e^{-\int \frac{\sin y}{\cos y} \mathrm{~ d} y}=e^{\int \frac{1}{\cos y}} \mathrm{~ d} (\cos y) \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\mu(y) = e^{\ln |\cos y|}=\cos y
}
$$

于是，在 (1) 式的两端同乘以 $\mu(y) = \cos y$, 可得：

$$
\textcolor{orangered}{
\frac{\mathrm{~ d} x}{\mathrm{~ d} y} \cdot \cos y-x \sin y=\sin 2 y \cos y } \tag{2}
$$

又，当有 $x(y)$ 时：

$$
(x \cos y)_{y}^{\prime}=x^{\prime} \cos y-x \sin y
$$

于是，(2) 式可转化为：

$$
x^{\prime} \cos y-x \sin y=\sin 2 y \cos y \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orangered}{
\frac{\mathrm{~ d} (x \cos y)}{\mathrm{~ d} y}=\sin 2 y \cos y } \Rightarrow
$$

两边同时积分：

$$
\int \frac{\mathrm{~ d} (x \cos y)}{\mathrm{~ d} y} \mathrm{~ d} y=\int \sin 2 y \cos y \mathrm{~ d} y \Rightarrow
$$

$$
x \cos y=2 \int \sin y \cos ^{2} y \mathrm{~ d} y \Rightarrow
$$

$$
x \cos y=-2 \int \cos ^{2} y \mathrm{~ d} (\cos y) \Rightarrow
$$

$$
x \cos y=-2 \cdot \frac{1}{3} \cos ^{3} y+C
$$

$$
\textcolor{orangered}{
x \cos y=\frac{-2}{3} \cos ^{3} y+C } \Rightarrow
$$

又：

$$
y(0)=0 \Rightarrow 0=\frac{-2}{3}+C \Rightarrow C=\frac{2}{3}
$$

于是：

$$
x \cos y=\frac{-2}{3} \cos ^{3} y+\frac{2}{3} \Rightarrow
$$

$$
x=\frac{-2}{3} \cos ^{2} y+\frac{2}{3 \cos y}
$$

综上可得：

$$
\textcolor{orange}{
x(y)=\frac{-2}{3} \cos ^{2} y+\frac{2}{3 \cos y}
}
$$

方法二：公式法

已知，若一阶线性微分方程形如：

$$
y^{\prime}+p(x) y=q(x)
$$

则：

$$
y(x)=\left[\int q(x) e^{\int p(x) \mathrm{~ d} x} \mathrm{~ d} x+C\right] e^{-\int p(x) \mathrm{~ d} x}
$$

因此，若一阶线性微分方程形如：

$$
x^{\prime}+p(y) x = q(y)
$$

则：

$$
x(y)=\left[\int q(y) e^{\int p(y) \mathrm{~ d} y}+C\right] e^{-\int p(y) \mathrm{~ d} y}
$$

又由方法一可知，我们要求解的就是：

$$
\frac{\mathrm{~ d} x}{\mathrm{~ d} y} \textcolor{orangered}{-} x \tan y=\sin 2 y \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{~ d} x}{\mathrm{~ d} y} \textcolor{orangered}{+} x (\textcolor{orangered}{-}\tan y) = \sin 2 y
$$

Tips:

在套用公式的时候，一定要确保严格套用，例如上面式子中的正负号一定要和公式中的保持一致才可以。

因此，其通解为：

$$
x(y)=\left[\int \sin 2 y \cdot e^{\textcolor{orangered}{-} \int \tan y \mathrm{~ d} y} \mathrm{~ d} y+c\right] e^{\textcolor{orangered}{-} \int \textcolor{orangered}{-}\tan y \mathrm{~ d} y}
$$

又：

$$
\int \tan y \mathrm{~ d} y=-\int \frac{1}{\cos y} \mathrm{~ d} (\cos y)=-\ln |\cos y|
$$

于是：

$$
x(y)=\left[\int \sin 2 y \cos y+C\right] \frac{1}{\cos y} \Rightarrow
$$

$$
x(y)=\left[-2\left[\cos ^{2} y \mathrm{~ d} (\cos y)+C\right] \frac{1}{\cos y} \Rightarrow\right.
$$

$$
x(y)=\left[-\frac{2}{3} \cos ^{3} y+C\right] \frac{1}{\cos y}
$$

又：

$$
y(0)=0 \Rightarrow 0=\frac{-2}{3}+C \Rightarrow C=\frac{2}{3}
$$

于是：

$$
x(y)=\left[-\frac{2}{3} \cos ^{3} y+\frac{2}{3}\right] \frac{1}{\cos y} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
x(y)=\frac{-2}{3} \cos ^{2} y+\frac{2}{3 \cos y}
}
$$

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