一、题目
求解曲线 $y=\sqrt{4 x^{2}+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)$ 的全部渐近线。
难度评级：
二、解析 
求解渐近线的步骤：
1. 先找垂直渐近线（在间断点处）；
2. 再找水平渐近线（当 $x \rightarrow \infty$ 时求 $y$）；
3. 最后找倾斜渐近线（当 $x \rightarrow \infty$ 时求 $\frac{y}{x}$）。
一、垂直渐近线
先寻找间断点：
$$
\left\{\begin{array}{l}2+\frac{1}{x}>0 \\ x \neq 0 \\ 4 x^{2}+x \geqslant 0\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x<\frac{-1}{2} \\ x \neq 0 \\ x \leqslant \frac{-1}{4} \\ x \geqslant 0\end{array} \Rightarrow\right.\right. \left\{\begin{array}{l}x<\frac{-1}{2} \\ x>0\end{array}\right.
$$
综上可知，间断点为：
$$
\left\{\begin{array}{l}x=\frac{-1}{2} \\ x=0\end{array}\right.
$$
于是，当：
$$
x \rightarrow\left(\frac{-1}{2}\right)^{-}
$$
有：
$$
y=\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)=\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln \left(\frac{2 x+1}{x}\right) \Rightarrow
$$
$$
\left(1 – \frac{1}{2} \right) \cdot \ln \left(\frac{0}{\frac{-1}{2}}\right) = \frac{1}{2} \cdot \infty=\infty
$$
又，当：
$$
x \rightarrow 0^{+}
$$
于是：
$$
y=\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)=
$$
$$
\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln \left(\frac{2 x+1}{x}\right)=
$$
$$
\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln (2 x+1)-\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln x=
$$
$$
0 \cdot \ln (1)-\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln x=
$$
$$
0-\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln x=
$$
$$
0-\sqrt{4 x+1} \cdot \sqrt{x} \cdot \ln x =
$$
又：
$$
\sqrt{x} \cdot \ln x=\frac{\ln x}{x^{-\frac{1}{2}}} \Rightarrow
$$
洛必达运算：
$$
\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{3}{2}}} = \frac{x^{-1}}{-\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}}} \Rightarrow-2 \cdot x^{\left(-1+\frac{3}{2}\right)}=-2 x^{\frac{1}{2}}=0
$$
因此：
$$
0-\sqrt{4 x+1} \cdot \sqrt{x} \cdot \ln x=0-0=0
$$
于是可知，$x=\frac{-1}{2}$ 是垂直渐近线，而 $x = 0$ 不是垂直渐近线。
二、水平渐近线
当 $x \rightarrow \infty$, 有：
$$
y=\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)=
$$
$$
\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln 2=2|x| \cdot \ln 2=\infty
$$
于是可知，不存在水平渐近线。
三、倾斜渐近线
当 $x \rightarrow \pm \infty$, 有：
$$
\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)}{x}=
$$
$$
\frac{|x| \sqrt{4+\frac{1}{x}} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)}{x}=\frac{2|x| \cdot \ln 2}{x} = \pm 2 \ln 2=k
$$
又：
$$
y=k x+b \Rightarrow b=y-k x=y-( \pm 2 \ln 2) x
$$
于是，当 $x \rightarrow+\infty$ 时：
$$
y-(2 \ln 2) x=\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)-(2 \ln 2) x =
$$
$$
x \sqrt{4+\frac{1}{x}} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{3}\right)-(2 \ln 2) x =
$$
$$
\frac{\sqrt{4+\frac{1}{x}} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)-(2 \ln 2)}{\frac{1}{x}} \Rightarrow
$$
令：
$$
t=\frac{1}{x}
$$
则 $t \rightarrow 0^{+}$：
$$
\frac{\sqrt{4+t} \cdot \ln (2+t)-2 \ln 2}{t} \Rightarrow
$$
洛必达运算：
$$
\frac{\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{4+t}} \ln (2+t)+\sqrt{4+t} \frac{1}{2+t}}{1} = \frac{1}{4} \ln 2+1
$$
当 $x \rightarrow -\infty$ 时：
$$
y-(-2 \ln 2) x=y+2 \ln 2 \Rightarrow
$$
注意：不要根据前面 $x \rightarrow + \infty$ 的计算结果就认为应该有 $y+2 \ln 2$ $=$ $\frac{\sqrt{4+t} \cdot \ln (2+t)+2 \ln 2}{t}$, 因为开根号可能需要加绝对值，因此，一定要完整的进行一次演算。
$$
\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)+(2 \ln 2) x \Rightarrow
$$
$$
\textcolor{orangered}{ – x } \sqrt{4+\frac{1}{x}} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)+(2 \ln 2) x \Rightarrow
$$
$$
-x\left[\sqrt{4+\frac{1}{x}} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)-2 \ln 2\right] \Rightarrow
$$
$$
-\left[\sqrt{4+\frac{1}{x}} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)-2 \ln 2\right] \Rightarrow
$$
令：
$$
t=\frac{1}{x} \Rightarrow t \rightarrow 0^{-} \Rightarrow
$$
则：
$$
\frac{-[\sqrt{4+t} \cdot \ln (2+t)-2 \ln 2]}{t}=
-\left(\frac{1}{4} \ln 2+1\right)
$$
综上可知，全部渐近线为：
$$
x=\frac{-1}{2}
$$
$$
y=(2 \ln 2) x+1+\frac{1}{4} \ln 2 \quad (x \rightarrow+\infty)
$$
$$
y=-(2 \ln 2) x-1-\frac{1}{4} \ln 2 \quad (x \rightarrow-\infty)
$$