要找渐近线先找间断点

一、题目

求解曲线 $y=\sqrt{4x^2+x}\ln (2+\frac{1}{x})$ 的全部渐近线。

难度评级：

二、解析

求解渐近线的步骤：
1. 先找垂直渐近线（在间断点处）；
2. 再找水平渐近线（当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时求 $y$）；
3. 最后找倾斜渐近线（当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时求 $\frac{y}{x}$）。

一、垂直渐近线

先寻找间断点：

$$\{\begin{array}{l}2+\frac{1}{x}>0\\ x\ne 0\\ 4x^2+x⩾0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x<\frac{-1}{2}\\ x\ne 0\\ x⩽\frac{-1}{4}\\ x⩾0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x<\frac{-1}{2}\\ x>0\end{array}$$

综上可知，间断点为：

$$\{\begin{array}{l}x=\frac{-1}{2}\\ x=0\end{array}$$

于是，当：

$$x\to {\left(\frac{-1}{2}\right)}^{-}$$

有：

$$y=\sqrt{4x^2+x}\cdot \ln (2+\frac{1}{x})=\sqrt{4x^2+x}\cdot \ln \left(\frac{2x+1}{x}\right)\Rightarrow$$

$$\left(1–\frac{1}{2}\right)\cdot \ln \left(\frac{0}{\frac{-1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$$

又，当：

$$x\to 0^{+}$$

于是：

$$y=\sqrt{4x^2+x}\cdot \ln (2+\frac{1}{x})=$$

$$\sqrt{4x^2+x}\cdot \ln \left(\frac{2x+1}{x}\right)=$$

$$\sqrt{4x^2+x}\cdot \ln (2x+1)-\sqrt{4x^2+x}\cdot \ln x=$$

$$0\cdot \ln (1)-\sqrt{4x^2+x}\cdot \ln x=$$

$$0-\sqrt{4x^2+x}\cdot \ln x=$$

$$0-\sqrt{4x+1}\cdot \sqrt{x}\cdot \ln x=$$

又：

$$\sqrt{x}\cdot \ln x=\frac{\ln x}{x^{-\frac{1}{2}}}\Rightarrow$$

洛必达运算：

$$\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}}}=\frac{x^{-1}}{-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}}\Rightarrow -2\cdot x^{(-1+\frac{3}{2})}=-2x^{\frac{1}{2}}=0$$

因此：

$$0-\sqrt{4x+1}\cdot \sqrt{x}\cdot \ln x=0-0=0$$

于是可知，$x=\frac{-1}{2}$ 是垂直渐近线，而 $x=0$ 不是垂直渐近线。

二、水平渐近线

当 $x\to \mathrm{\infty }$, 有：

$$y=\sqrt{4x^2+x}\cdot \ln (2+\frac{1}{x})=$$

$$\sqrt{4x^2+x}\cdot \ln 2=2|x|\cdot \ln 2=\mathrm{\infty }$$

于是可知，不存在水平渐近线。

三、倾斜渐近线

当 $x\to \pm \mathrm{\infty }$, 有：

$$\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{4x^2+x}\cdot \ln (2+\frac{1}{x})}{x}=$$

$$\frac{|x|\sqrt{4+\frac{1}{x}}\cdot \ln (2+\frac{1}{x})}{x}=\frac{2|x|\cdot \ln 2}{x}=\pm 2\ln 2=k$$

又：

$$y=kx+b\Rightarrow b=y-kx=y-(\pm 2\ln 2)x$$

于是，当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时：

$$y-(2\ln 2)x=\sqrt{4x^2+x}\cdot \ln (2+\frac{1}{x})-(2\ln 2)x=$$

$$x\sqrt{4+\frac{1}{x}}\cdot \ln (2+\frac{1}{3})-(2\ln 2)x=$$

$$\frac{\sqrt{4+\frac{1}{x}}\cdot \ln (2+\frac{1}{x})-(2\ln 2)}{\frac{1}{x}}\Rightarrow$$

令：

$$t=\frac{1}{x}$$

则 $t\to 0^{+}$：

$$\frac{\sqrt{4+t}\cdot \ln (2+t)-2\ln 2}{t}\Rightarrow$$

洛必达运算：

$$\frac{\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{4+t}}\ln (2+t)+\sqrt{4+t}\frac{1}{2+t}}{1}=\frac{1}{4}\ln 2+1$$

当 $x\to -\mathrm{\infty }$ 时：

$$y-(-2\ln 2)x=y+2\ln 2\Rightarrow$$

注意：不要根据前面 $x\to +\mathrm{\infty }$ 的计算结果就认为应该有 $y+2\ln 2$ $=$ $\frac{\sqrt{4+t}\cdot \ln (2+t)+2\ln 2}{t}$, 因为开根号可能需要加绝对值，因此，一定要完整的进行一次演算。

$$\sqrt{4x^2+x}\cdot \ln (2+\frac{1}{x})+(2\ln 2)x\Rightarrow$$

$$–x\sqrt{4+\frac{1}{x}}\cdot \ln (2+\frac{1}{x})+(2\ln 2)x\Rightarrow$$

$$-x[\sqrt{4+\frac{1}{x}}\cdot \ln (2+\frac{1}{x})-2\ln 2]\Rightarrow$$

$$-[\sqrt{4+\frac{1}{x}}\cdot \ln (2+\frac{1}{x})-2\ln 2]\Rightarrow$$

令：

$$t=\frac{1}{x}\Rightarrow t\to 0^{-}\Rightarrow$$

则：

$$\frac{-[\sqrt{4+t}\cdot \ln (2+t)-2\ln 2]}{t}=-(\frac{1}{4}\ln 2+1)$$

综上可知，全部渐近线为：

$$x=\frac{-1}{2}$$

$$y=(2\ln 2)x+1+\frac{1}{4}\ln 2(x\to +\mathrm{\infty })$$

$$y=-(2\ln 2)x-1-\frac{1}{4}\ln 2(x\to -\mathrm{\infty })$$