四两拨千斤：把计算代数余子式之和转变为求解行列式的值

一、题目

已知，有行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|$, 则该行列式第一行元素的代数余子式之和是多少？

难度评级：

二、解析

方法一：四两拨千斤

我们知道，一个元素的代数余子式和这个元素本身是没有关系的——但是，“如果这个元素”是 $1$ 的话，也可以说和“这个元素”有关系，因为乘以 $1$ 和不乘以 $1$ 并没有任何区别。

基于上面的分析我们知道，求解行列式 $\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|$ 第一行元素的代数余子式之和，其实就是将下面这个行列式按照第一行元素降阶展开：

$$
\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|
$$

更进一步，将上面的行列式按照第一行元素降阶展开，其实就是求解该行列式的值——

但是，如果要求解一个行列式的值，无论按照哪一行或者哪一列展开所得到的值都是一样的，因此，为了简便期间，我们可以按照第一列展开，于是：

$$
\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4\end{array}\right| =
$$

$$
\left|\begin{array}{llll}2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right| – 4 \left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \end{array}\right| = 24 – 4(6+6-6) = 0.
$$

当然，既然题目所给问题已经转变成了求解 $\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|$ 的值，我们也可以先对该行列式进行化简：

Tips:

将行列中中的某一行的 $k$ 被加到另一行上不会改变行列式的值。具体内容可以参考《初等变换有可能改变行列式的值吗?》

$$
\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4\end{array}\right| =
$$

$$
\left|\begin{array}{llll}0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right| =
$$

$$
\left|\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right| = 0.
$$

综上可知，代数余子式 $A_{11} + A_{12} + A_{13} + A_{14} = 0$.

方法二：大力出奇迹

本题也可以直接计算，过程如下（用了两次展开降阶操作）：

$$
\left|\begin{array}{lll}2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right|-\left|\begin{array}{lll}0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 4\end{array}\right|+
$$

$$
\left|\begin{array}{lll}0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 4 & 0 & 4\end{array}\right|- \left|\begin{array}{lll}0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 4 & 0 & 0\end{array}\right| =
$$

$$
2\left|\begin{array}{ll}3 & 3 \\ 0 & 4\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{ll}0 & 3 \\ 0 & 4\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{ll}0 & 3 \\ 4 & 4\end{array}\right|-
$$

$$
2\left|\begin{array}{ll}0 & 3 \\ 4 & 4\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{ll}0 & 3 \\ 4 & 0\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 4 & 0\end{array}\right| =
$$

$$
2\left|\begin{array}{ll}3 & 3 \\ 0 & 4\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{ll}0 & 3 \\ 4 & 0\end{array}\right| =
$$

$$
2 \times 12-2 \times 12=0.
$$

---