二阶矩阵？实对称？行列式不等于零？这背后隐藏着什么规律？

一、题目

已知，二阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征向量为 $\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)$, 且 $|\boldsymbol{A}|<0$, 则 $k\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)$、$\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)$、$k_{1}\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)+k_{2}\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)$ $(k_{1} \neq 0$ 且 $k_{2} \neq 0)$ 和 $k_{1}\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)+k_{2}\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)$（$k_{1}$ 和 $k_{2}$ 不同时为零）中，一定是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量的是哪个或哪些？

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二、解析

由于：

$$
|A| \neq 0
$$

且：

$$
|A| < 0
$$

因此，属于 $A$ 的特征值一定非零，且一定是其中一个特征值为正数，另一个特征值为负数，于是我们可知，$A$ 的两个特征值一定不相等：

$$
\lambda_{1} \neq \lambda_{2}
$$

进而， 根据《实对称矩阵的性质汇总》可知，属于不同特征值的特征向量一定正交，又：

$$
(-3, 1) \left(\begin{array}{c}1 \\ 3\end{array}\right) = -3 + 3 = 0
$$

因此可知，$\left(\begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{c}1 \\ 3\end{array}\right)$ 是相互正交的，从而可知，$\left(\begin{array}{c}1 \\ 3\end{array}\right)$ 一定是矩阵 $A$ 的另一个特征向量。

对于 $k\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)$, 当 $k = 0$ 时，$k\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right)$ 显然与已知特征向量 $\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)$ 不正交，因此，$k\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)$ 不一定是 $A$ 的特征向量。

同时，$k_{1}\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)+k_{2}\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)$ $(k_{1} \neq 0$ 且 $k_{2} \neq 0)$ 和 $k_{1}\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)+k_{2}\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)$（$k_{1}$ 和 $k_{2}$ 不同时为零）也不一定是合理的特征向量，原因如下：

由于，不同特征值对应的特征向量的线性组合得出的向量对应的“特征值”也需要有相应的线性组合，但是，这样线性组合出来的特征值不一定是原有的特征值，因此，原有特征向量线性组合得出的新向量也不一定是符合要求的特征向量。

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