题目
将长为 $2 \mathrm{m}$ 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形. 三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.
解析
设所围成的圆形的半径为 $x$, 正方形的边长为 $y$, 正三角形的边长为 $z$, 则：
- 这三个图形的面积之和为：
$$
s = \pi x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} \cdot z \cdot \sqrt{z^{2} – (\frac{z}{2})^{2}} \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
s = \pi x^{2} + y^{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}z^{2}}.(x > 0, y > 0, z > 0)
$$
- 铁丝的长度为：
$$
{\color{Red}
l = 2 = 2 \pi x + 4y + 3z}.(x > 0, y > 0, z > 0)
$$
若令：
$$
f(x,y,z) = \pi x^{2} + y^{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}z^{2}.(x > 0, y > 0, z > 0)
$$
则，题目就【部分】转化为求函数 $f(x,y,z)$ 在条件 $2 = 2 \pi x + 4y + 3z$ 下的【极小值】的问题了。
接着，我们可以构造出拉格朗日函数：
$$
{\color{Red}
L(x,y,z,\lambda) = \pi x^{2} + y^{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}z^{2} + \lambda(2 \pi x + 4y + 3z – 2)}.
$$
于是，令：
$$
{\color{Red}
\left\{\begin{matrix}
\frac{\partial L}{\partial x} = 2 \pi x + 2 \pi \lambda = 0;\\
\frac{\partial L}{\partial y} = 2y + 4 \lambda = 0;\\
\frac{\partial L}{\partial z} = \frac{\sqrt{3}}{2} z + 3 \lambda = 0;\\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 2 \pi x + 4y + 3z – 2 = 0
\end{matrix}\right.}
\Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{matrix}
x + \lambda = 0;\\
2y + 4 \lambda = 0;\\
\frac{\sqrt{3}}{2} z + 3 \lambda = 0;\\
2 \pi x + 4y + 3z – 2 = 0
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{matrix}
{\color{Red}
\lambda = -x};\\
2y + 4 \lambda = 0;\\
\frac{\sqrt{3}}{2} z + 3 \lambda = 0;\\
2 \pi x + 4y + 3z – 2 = 0
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{matrix}
2y – 4 x = 0;\\
\frac{\sqrt{3}}{2} z – 3 x = 0;\\
2 \pi x + 4y + 3z – 2 = 0
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{matrix}
{\color{Red}
y = 2x};\\
\frac{\sqrt{3}}{2} z – 3 x = 0;\\
2 \pi x + 4y + 3z – 2 = 0
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{matrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} z – 3 x = 0;\\
2 \pi x + 8x + 3z – 2 = 0
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{matrix}
{\color{Red}
x = \frac{\sqrt{3}}{6} z};\\
(2 \pi + 8) x + 3z – 2 = 0
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
(2 \pi + 8) \frac{\sqrt{3}}{6} z + 3z – 2 = 0
\Rightarrow
$$
$$
[(2 \pi + 8) \frac{\sqrt{3}}{6} + 3] z = 2 \Rightarrow
$$
$$
[(2 \pi + 8) \frac{\sqrt{3}}{3} + 3] z = 2 \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
z_{0} = \frac{2 \sqrt{3}}{\pi + 4 + 3 \sqrt{3}}}.
$$
进而，可得：
$$
x_{0} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot z_{0} = \frac{1}{\pi + 4 + 3 \sqrt{3}}.
$$
$$
y_{0} = 2 \cdot x_{0} = \frac{2}{\pi + 4 + 3 \sqrt{3}}.
$$
综上，有：
$$
{\color{Red}
\left\{\begin{matrix}
x_{0} = \frac{1}{\pi + 4 + 3 \sqrt{3}};\\
y_{0} = \frac{2}{\pi + 4 + 3 \sqrt{3}};\\
z_{0} = \frac{2 \sqrt{3}}{\pi + 4 + 3 \sqrt{3}}.
\end{matrix}\right.}
$$
由拉格朗日乘数法的原理可知，$f(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 是一个极值，要么是极大值，要么是极小值。
又由于“一条定长的线段能围成的面积最大的封闭图形是圆形”，因此，只有当 $x = 2$, $y = 0$, $z = 0$ 时，$f(x, y, z)$ 才会取得最大值，因此，$f(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 一定是一个极小值。
若要继续证明 $f(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 是一个最小值，还要考虑区域边界上的情况，即，在区域 ${ (x,y,z) | 2 = 2 \pi x + 4y + 3z, (x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0) }$ 的边界上是否存在比 $f(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 更小的值，如果不存在，则就说明 $f(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 是最小值。
若要考虑区域 ${ (x,y,z) | 2 = 2 \pi x + 4y + 3z, (x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0) }$ 的边界上的取值情况，就要分别考虑 $x = 0$, $y = 0$ 和 $z = 0$ 时 $f(x,y,z)$ 的取值。
接着分析可知，由于“一条定长的线段能围成的面积最大的封闭图形是圆形”，那么，为了让该线段围成的封闭图形的面积最小，则就要不围出来圆形。在本题中，在 $x = 0$ 或 $y = 0$ 或 $z = 0$ 这三种情况中，只有让圆形的半径 $x = 0$ 时，才可以获得最小的面积，于是：
令 $x = 0$, 可以构造出拉格朗日函数为：
$$
L_{1}(x,y,z,\lambda) = y^{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}z^{2} + \lambda(4y + 3z – 2).
$$
进而：
$$
\left\{\begin{matrix}
\frac{\partial L_{1}}{\partial y} = 2y + 4 \lambda = 0;\\
\frac{\partial L_{1}}{\partial z} = \frac{\sqrt{3}}{2} z + 3 \lambda = 0;\\
\frac{\partial L_{1}}{\partial \lambda} = 4y + 3z – 2 = 0
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{matrix}
2y + 4 \lambda = 0;\\
\frac{\sqrt{3}}{2} z + 3 \lambda = 0;\\
4y + 3z – 2 = 0
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{matrix}
y = – 2 \lambda;\\
\frac{\sqrt{3}}{2} z + 3 \lambda = 0;\\
4y + 3z – 2 = 0
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{matrix}
x_{1} = 0;\\
y_{1} = \frac{2}{4 + 3 \sqrt{3}};\\
z_{1} = \frac{2 \sqrt{3}}{4 + 3 \sqrt{3}}
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
f(x_{1}, y_{1}, z_{1}) = \frac{1}{4 + 3 \sqrt{3}}.
$$
又：
$$
f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = \frac{1}{\pi + 4 + 3 \sqrt{3}}.
$$
且：
$$
\frac{1}{\pi + 4 + 3 \sqrt{3}} < \frac{1}{4 + 3 \sqrt{3}}.
$$
于是，三个图形的面积之和存在最小值，且最小值为：
$$
f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = \frac{1}{\pi + 4 + 3 \sqrt{3}}.
$$