使用放缩法判断反常积分的敛散性：大缩小更缩，小散大更散

一、题目

判断下面反常积分的敛散性：

(1) $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}-1}}$.

(2) $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(x-1)}}$.

(3) $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}$.

(4) $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}-1\right)}$.

难度评级：

二、解析

基础知识

$$
\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~ d} x\left\{\begin{array}{ll}\text { 收敛, } & p>1 \\ \text { 发散, } & p \leq 1\end{array} \quad(a>0)\right.
$$

$$
\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^{p}} \mathrm{~ d} x\left\{\begin{array}{ll}
\text { 收敛, } & p<1 \\
\text { 发散, } & p \geqslant 1
\end{array}\right.
$$

第 (1) 个式子

当 $x>1$ 时：

$$
\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}>\frac{1}{\sqrt{x^{2}}}=\frac{1}{x}
$$

$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} \Rightarrow 发散 \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow 发散
$$

第 (2) 个式子

当 $x>1$ 时：

$$
\frac{1}{\sqrt{x(x-1)}}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-x}}>\frac{1}{\sqrt{x^{2}}}=\frac{1}{x}
$$

$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} \Rightarrow 发散 \Rightarrow \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} \Rightarrow 发散
$$

第 (3) 个式子

当 $x>2$ 时：

$$
0<\frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}<\frac{1}{x^{2} \cdot \sqrt{3}} \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{\sqrt{3}} \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow 收敛 \Rightarrow
$$

$$
\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow 收敛
$$

当 $1<x \leq 2$ 时：

$$
0<\frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}=\frac{1}{x^{2} \sqrt{(x+1)(x-1)}}=
$$

$$
\frac{1}{x^{2} \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1}}<\frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x-1}}
$$

$$
\frac{1}{\sqrt{2}} \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x-1}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow 收敛 \Rightarrow
$$

$$
\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow 收敛.
$$

综上：

$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow 收敛
$$

第 (4) 个式子

无效的解法：

$$
\frac{1}{x\left(x^{2}-1\right)}=\frac{1}{x^{3}-x}>\frac{1}{x^{3}}
$$

虽然：

$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{3}} \Rightarrow 收敛
$$

但是，我们据此是无法判断 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{3}-x}$ 的敛散性的。

有效的解法：

$$
\frac{1}{x\left(x^{2}-1\right)}=\frac{1}{x(x+1)(x-1)}
$$

当 $1<x<2$ 时：

$$
\frac{1}{x(x+1)(x-1)}>\frac{1}{6(x-1)}
$$

由于：

$$
\frac{1}{6} \int_{1}^{2} \frac{1}{x-1} \mathrm{~ d} x \Rightarrow 发散 \Rightarrow
$$

因此：

$$
\int_{1}^{2} \frac{1}{x\left(x^{2}-1\right)} \mathrm{~ d} x =
$$

$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x\left(x^{2}-1\right)} \mathrm{~ d} x \Rightarrow 发散
$$

Tips:

若要证明积分收敛，则必须在整个积分区间内都收敛才行，但如果要证明积分发散，则只需要证明其在积分区间的一部分中发散即可。

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