注意：判断一点处导数存在时说的“左导等于右导”是不带极限的

一、题目

由 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}{f}^{\prime }(x)$ $=$ $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}{f}^{\prime }(x)=a$ 能推导出函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导且连续且 $f^{\prime }(x_0)=a$ 的结论吗？

难度评级：

二、解析

首先，根据《函数可导的充分必要条件》可知，函数在一点处可导的充要条件是：

$$f^{\prime }\left(x_0\right)=A\iff f_{+}^{\prime }\left(x_0\right)=f_{-}^{\prime }\left(x_0\right)=A$$

也就是我们常说的“左导等于右导，则函数在该点处可导”。

但是，这是所说的“左导”和“右导”都是导函数 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=x_0$ 左右两边的确切值，而非极限值，因此：

$$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}{f}^{\prime }(x)=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}{f}^{\prime }(x)=a\nLeftrightarrow f^{\prime }(x_0)=a$$

从本题中，我们只能知道：

$$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}{f}^{\prime }(x)=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}{f}^{\prime }(x)=a\iff \underset{x\to x_0}{lim}{f}^{\prime }(x_0)=a$$

综上可知，由 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}{f}^{\prime }(x)$ $=$ $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}{f}^{\prime }(x)=a$ 【不能】推出如下结论：

1. 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导；
2. 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续；
3. 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的极限存在；
4. $f^{\prime }(x_0)=a$.

总的来说，在判断一点处左右导数的时候要注意：

左右导函数的值，并不是左右导函数的极限值。

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