变限积分求导时被积函数中有两个不同的变量怎么办：做变量代换后就可以拆分开了

一、题目

已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $g(x)$ $=$ $\int_{-x}^{0} t f(x+t) \mathrm{d} t$, 则 $g^{\prime}(x) = ?$

难度评级：

二、解析

首先，令 $k=x+t$, 则：

$$
t=k-x \Rightarrow \mathrm{d} t=\mathrm{d} k \Rightarrow
$$

$$
t \in(-x, 0) \Rightarrow k \in(0, x) \Rightarrow
$$

于是：

$$
g(x)=\int_{-x}^{0} t f(x+t) \mathrm{d} t \Rightarrow
$$

$$
g(x)=\int_{0}^{x}(k-x) f(k) \mathrm{d} k \Rightarrow
$$

因此：

$$
g^{\prime}(x)=\int_{0}^{x} k f(k) \mathrm{d} k-x \int_{0}^{x} f(k) \mathrm{d} k.
$$

$$
g^{\prime}(x)=x f(x)-\int_{0}^{x} f(k) \mathrm{d} k-x f(x) \Rightarrow
$$

$$
g^{\prime}(x)=-\int_{0}^{x} f(k) \mathrm{d} k
$$

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