注意：判断一点处导数存在时说的“左导等于右导”是不带极限的

一、题目

由 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a$ 能推导出函数 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导且连续且 $f^{\prime}(x_{0}) = a$ 的结论吗？

难度评级：

二、解析

首先，根据《函数可导的充分必要条件》可知，函数在一点处可导的充要条件是：

$$
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=A \Leftrightarrow f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)=A
$$

也就是我们常说的“左导等于右导，则函数在该点处可导”。

但是，这是所说的“左导”和“右导”都是导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $x = x_{0}$ 左右两边的确切值，而非极限值，因此：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x) = \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a \textcolor{red}{\nLeftrightarrow} f^{\prime}(x_{0}) = a
$$

从本题中，我们只能知道：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x) = \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a \textcolor{green}{\Leftrightarrow} \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x_{0}) = a
$$

综上可知，由 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a$ 【不能】推出如下结论：

1. 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导；
2. 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续；
3. 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限存在；
4. $f^{\prime}(x_{0}) = a$.

总的来说，在判断一点处左右导数的时候要注意：

左右导函数的值，并不是左右导函数的极限值。

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