特例法一般只能用在选择题中：因为特例只能得到正确答案的一部分

一、题目

已知 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}$ 为正数 $(m \geqslant 2)$, 则：

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{m}^{n}\right)^{\frac{1}{n}} = ?
$$

难度评级：

二、解析

错误的解法

由于严格地说，特例只能得到正确答案的一部分，因此，特例法一般只能用在选择题中。

例如，下面使用特例法得到的结果就是错的：

$$
a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{m}=1 \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}\right)^{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1^{n}+1^{n}+\cdots+1^{n}\right)^{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}(1+1+1+\cdots+1)^{0}=1.
$$

正确的解法 1：构造无穷小量

设：

$$
a_{1}=\max \left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}\right \}
$$

则：

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{m}^{n}\right)^{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[a_{1}^{n}\left(1+\left(\frac{a_{2}}{a_{1}}\right)^{n}+\cdots+\left(\frac{a_{m}}{a_{1}}\right)^{n}\right]^{\frac{1}{n}} \Rightarrow\right.
$$

$$
I=a_{1} \cdot \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[1+\left(\frac{a_{2}}{a_{1}}\right)^{n}+\cdots+\left(\frac{a_{m}}{a_{1}}\right)^{n}\right]^{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$

又：

$$
\left(\frac{a_{2}}{a_{1}}\right)<1 \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{2}}{a_{1}}\right)^{n} \rightarrow 0
$$

$$
\left(\frac{a_{m}}{a_{1}}\right)<1 \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{m}}{a_{1}}\right)^{n} \rightarrow 0
$$

于是：

$$
I=a_{1} \cdot \lim \limits_{n \rightarrow \infty}[1+0+\cdots+0]^{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$

$$
I=a_{1} \cdot 1 = a_{1}
$$

综上可知：

$$
I=\max \left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}\right \}
$$

正确的解法 2：放缩夹逼

设：

$$
a_{1}=\max \left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}\right \}.
$$

则：

$$
a_{1} \leqslant\left(a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{m}^{n}\right)^{\frac{1}{n}} \leqslant\left(m a_{1}^{n}\right)^{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(m a_{1}^{n}\right)^{\frac{1}{n}} \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{1} \cdot m^{\frac{1}{n}} \Rightarrow a_{1} \cdot 1=a_{1} \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{m}^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=a_{1}.
$$

综上可知：

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{m}^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=\max \left\{a_{1}, a_{2}, \ldots a_{m}\right \} .
$$

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