不是所有的定积分都必须做积分运算:在有极限的时候也可以尝试夹逼定理

一、题目题目 - 荒原之梦

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{x+3} \mathrm{~d} x=?
$$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

解法 1:思维判断

由于:

$$
x \in(0,1), n \rightarrow \infty \Rightarrow
$$

$$
x^{n} \rightarrow 0 \Rightarrow
$$

$$
x^{n} \sqrt{x+3} \rightarrow 0.
$$

也就是说,当 $x \in (0, 1)$ 时,次幂越高值越小,因此,直接可得:

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{x+3} \mathrm{~ d} x=0
$$

方法 2:放缩夹逼

由于:

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{3} \mathrm{~ d} x \leqslant \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{x+3} \mathrm{~ d} x \leqslant
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} 2 \mathrm{~ d} x
$$

且:

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{3} \mathrm{~ d} x=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} 2 \mathrm{~ d} x=0 \Rightarrow
$$

因此:

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{x+3} \mathrm{~ d} x=0
$$


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