四阶纯数字行列式一般都是直接化简降阶计算

一、题目

$$
\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right|=?
$$

难度评级：

二、解析

基础知识：

1. 《行列式的化简》；
2. 《代数余子式的定义》；
3. 《行列式的按行展开定理》

解题过程如下：

$$
\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right| \Rightarrow
$$

第 3 行和第 4 行都减第 1 行：

$$
\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 5\end{array}\right| \Rightarrow
$$

按照第 1 列展开：

$$
1 \cdot (-1)^{1+1} \cdot \left|\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & 5\end{array}\right| \Rightarrow
$$

用第 2 行的 2 倍分别加到第 1 行和第 3 行：

$$
\left|\begin{array}{ccc}0 & -3 & 4 \\ -1 & -2 & 2 \\ 0 & -3 & 9\end{array}\right| \Rightarrow
$$

按照第 1 列展开：

$$
(-1) \cdot (-1)^{2+1}\left|\begin{array}{cc}-3 & 4 \\ -3 & 9\end{array}\right| =
$$

$$
-27+12=-15.
$$

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