极限的“段位”也有高低：有些极限需要分“段”讨论

一、题目

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+x^{n}+\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n}} = ?
$$

难度评级：

二、解析

很显然，在题目所给的式子中，并没有指出变量 $x$ 的取值范围，这就导致了以下问题：

1. 当 $0< x < 1$ 时，$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x^{n}$ $\rightarrow$ $0$;
2. 当 $x > 1$ 时，$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x^{n}$ $\rightarrow$ $\infty$

同样的，$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $(\frac{x^{n}}{2})^{n}$ 在 $x$ 取不同范围的值时，也存在上面的问题。

于是，我们知道：

1. 题目所给式子的极限需要分段求解；
2. 需要判断在 $x$ 位于哪个区间时 $x^{n}$ 大于 $(\frac{x^{n}}{2})^{n}$, 在 $x$ 位于哪个区间时 $x^{n}$ 小于 $(\frac{x^{n}}{2})^{n}$.

因此：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{n} \rightarrow 0 \Rightarrow 0 \leqslant x<1
$$

且：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n} \rightarrow 0 \Rightarrow\left(\frac{x^{2}}{2}\right)<1 \Rightarrow 0 \leqslant x<\sqrt{2}
$$

$$
(0 \leqslant x<1) \cap(0 \leqslant x<\sqrt{2}) \Rightarrow 0 \leqslant x<1
$$

于是，当 $0 \leqslant x<1$ 时：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt{1+x^{n}+\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n}}=\sqrt[n]{1}=1
$$

又：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n}}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{x}\right)^{n} \Rightarrow
$$

$$
\frac{2}{x}<1 \Rightarrow x>2 \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{n} \ll \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n}
$$

$$
\frac{2}{x}>1 \Rightarrow 0<x<2 \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{n} \gg \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n}
$$

综上可得：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+x^{n}+\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n}}=
\begin{cases}
& 1, \quad 0 \leqslant x<1;\\
& x, \quad 1 \leqslant x<2;\\
& \frac{x^{2}}{2}, \quad 2 \leqslant x.
\end{cases}
$$

---