标签： 高等数学基础

$\tan x$ $-$ $\sin x$ $\sim$ $\arcsin x$ $-$ $\arctan x$ $\sim$ $\frac{1}{2}{x}^3$

$\tan x$ $-$ $x$ $\sim$ $x$ $-$ $\arctan x$ $\sim$ $\frac{1}{3}{x}^3$

$x$ $-$ $\sin x$ $\sim$ $\frac{1}{6}{x}^3$ $\sim$ $\arcsin x$ $-$ $x$

$x$ $-$ $\ln (1+x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}{x}^2$

$(1+x{)}^a$ $-$ $1$ $\sim$ $ax$

其中，$a$ 为常数且 $a$ $\ne$ $0$.

$1–\cos x$ $\sim$ $\frac{1}{2}{x}^2$

$a^x–1$ $\sim$ $x\ln a$

Tips: 其中，$a$ 为常数且 $a$ $\ne$ $0$.

$\sin x$ $\sim$ $\tan x$ $\sim$ $\arcsin x$ $\sim$ $\arctan x$ $\sim$ $e^x$ $-$ $1$ $\sim$ $\ln (1+x)$ $\sim$ $x$

$\alpha (x)$ 是 $\beta (x)$ 的 $k$ 阶无穷小

Tips: $\alpha (x)$ 是 $\beta (x)$ 的 $k$ 阶无穷小，即是说 $\alpha (x)$ 和 $\beta (x)$ 相差了 $k$ 个数量级.

$\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 是等价无穷小，可记作 $\alpha (x)$ $\sim$ $\beta (x)$

Tips: $\alpha (x)$ 和 $\beta (x)$ 是等价无穷小，即是说 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 在极限上可以认为是相等的.

$\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 是同阶无穷小

Tips: $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 是同阶无穷小，即是说 $\alpha (x)$ 和 $\beta (x)$ 虽然不相等，但仍处于同一个量级.

$\alpha (x)$ 是比 $\beta (x)$ 低阶的无穷小

Tips: $\alpha (x)$ 是 $\beta (x)$ 的低阶无穷小，即是说 $\alpha (x)$ 远大于 $\beta (x)$.

$\alpha (x)$ 是比 $\beta (x)$ 高阶的无穷小，可记作 $\alpha (x)$ $=$ $o[\beta (x)]$

Tips: $\alpha (x)$ 是 $\beta (x)$ 的高阶无穷小，即是说 $\alpha (x)$ 远小于 $\beta (x)$.

$\underset{x\to x_0}{lim}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\iff$ $f(x)$ $=$ $A$ $+$ $\alpha (x)$

1. 数列的子列极限【不全部相等】；
2. 函数某点处【左侧】的极限与【右侧】的极限【不相等】；
3. 极限运算的结果为【正无穷大】或【负无穷大】.