高等数学基础归档 - 第48页共55页

极限 $lim_{n \to \infty} | q |^{n}$ 的值是多少？（B001）

问题

以下哪些选项是关于极限【

lim_{n \to \infty} | q |^{n}

】的值的正确选项？

选项

[A]. 当

| q |

>

1

时，

lim_{n \to \infty} | q |^{n}

\to

- \infty

[B]. 当

| q |

<

1

时，

lim_{n \to \infty} | q |^{n}

=

0

[C]. 当

| q |

<

1

时，

lim_{n \to \infty} | q |^{n}

=

1

[D]. 当

| q |

>

1

时，

lim_{n \to \infty} | q |^{n}

\to

+ \infty

答案

$lim_{n \to \infty} | q |^{n}$ $=$ ${\begin{cases} + \infty, | q | > 1, \\ 0, | q | < 1. \end{cases}$

高等数学中常用的极限值：

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$\tan x$ $-$ $\sin x$ 的等价无穷小（B001）

问题

当

x \to 0

时，以下哪些选项是【

\tan x

-

\sin x

的等价无穷小】？

选项

[A].

\frac{1}{2} x^{3}

[B].

\sin x

-

\tan x

[C].

\arcsin x

-

\arctan x

[D].

\frac{1}{3} x^{3}

[E].

\tan x

[F].

\sin x

答案

$\tan x$ $-$ $\sin x$ $\sim$ $\arcsin x$ $-$ $\arctan x$ $\sim$ $\frac{1}{2} x^{3}$

高等数学中常用的等价无穷小：

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$\tan x$ $-$ $x$ 的等价无穷小（B001）

问题

当

x \to 0

时，以下哪些选项是【

\tan x

-

x

的等价无穷小】？

选项

[A].

\tan x

[B].

x

-

\arctan x

[C].

\frac{1}{2} x^{3}

[D].

\frac{1}{3} x^{3}

[E].

x

-

\tan x

[F].

\frac{1}{3} \tan x

答案

$\tan x$ $-$ $x$ $\sim$ $x$ $-$ $\arctan x$ $\sim$ $\frac{1}{3} x^{3}$

高等数学中常用的等价无穷小：

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$x$ $-$ $\sin x$ 的等价无穷小（B001）

问题

当

x \to 0

时，以下哪个选项是【

x

-

\sin x

的等价无穷小】？

选项

[A].

\frac{1}{3} x

[B].

\frac{1}{2} x^{3}

[C].

\frac{1}{6} x^{2}

[D].

\frac{1}{6} x^{3}

答案

$x$ $-$ $\sin x$ $\sim$ $\frac{1}{6} x^{3}$ $\sim$ $\arcsin x$ $-$ $x$

高等数学中常用的等价无穷小：

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$x$ $-$ $\ln (1 + x)$ 的等价无穷小（B001）

问题

当

x \to 0

时，以下哪个选项是【

x

-

\ln (1 + x)

的等价无穷小】？

选项

[A].

\frac{1}{2} x

[B].

\frac{1}{2} x^{2}

[C].

x^{3}

[D].

2 x^{2}

答案

$x$ $-$ $\ln (1 + x)$ $\sim$ $\frac{1}{2} x^{2}$

高等数学中常用的等价无穷小：

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$(1 + x)^{a}$ $-$ $1$ 的等价无穷小（B001）

问题

当

x \to 0

时，以下哪个选项是【

(1 + x)^{a}

-

1

的等价无穷小】？

其中， $a$ 为常数且 $a$ $\neq$ $0$ .

选项

[A].

x^{a}

[B].

x

[C].

a

+

x

[D].

a x

答案

$(1 + x)^{a}$ $-$ $1$ $\sim$ $a x$

其中， $a$ 为常数且 $a$ $\neq$ $0$ .

相关知识点：$(1+x)^{a}$ 的麦克劳林公式.

高等数学中常用的等价无穷小：

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$1 - \cos x$ 的等价无穷小（B001）

问题

当

x \to 0

时，以下哪个选项是【

1 - \cos x

的等价无穷小】？

选项

[A].

x

[B].

x^{2}

[C].

- \frac{1}{2} x^{2}

[D].

\frac{1}{2} x^{2}

答案

$1 - \cos x$ $\sim$ $\frac{1}{2} x^{2}$

高等数学中常用的等价无穷小：

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$a^{x} - 1$ 的等价无穷小（B001）

问题

当

x \to 0

时，以下哪个选项是【

a^{x} - 1

的等价无穷小】？

其中， $a$ 为常数且 $a$ $\neq$ $0$ .

选项

[A].

x \ln a

[B].

\ln x

[C].

\ln a

[D].

a \ln x

答案

$a^{x} - 1$ $\sim$ $x \ln a$

Tips: 其中， $a$ 为常数且 $a$ $\neq$ $0$ .

高等数学中常用的等价无穷小：

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$\sin x$ 的等价无穷小（B001）

问题

当

x \to 0

时，以下哪些选项是【

\sin x

的等价无穷小】？

选项

[A].

\arcsin x

[B].

\cos x

[C].

\tan x

[D].

\ln (1 + x)

[E].

e^{x}

[F].

x

[G].

e^{x}

-

1

[H].

\arccos x

[I].

\arctan x

答案

$\sin x$ $\sim$ $\tan x$ $\sim$ $\arcsin x$ $\sim$ $\arctan x$ $\sim$ $e^{x}$ $-$ $1$ $\sim$ $\ln (1 + x)$ $\sim$ $x$

高等数学中常用的等价无穷小：

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什么是 $k$ 阶无穷小（B001）

问题

已知，有两个无穷小

lim

α (x)

=

0

和

β (x)

=

0

, 则当

lim

\frac{α (x)}{β^{k} (x)}

=

C

(C \neq 0)

的时候，

α (x)

与

β (x)

的关系是？

选项

[A].

α (x)

是比

β (x)

低阶的无穷小

[B].

α (x)

是比

β (x)

高阶的无穷小，可记作

α (x)

=

o [β (x)]

[C].

α (x)

是

β (x)

的

k

阶无穷小

[D].

α (x)

与

β (x)

是等价无穷小，可记作

α (x)

\sim

β (x)

[E].

α (x)

与

β (x)

是同阶无穷小

答案

$α (x)$ 是 $β (x)$ 的 $k$ 阶无穷小

Tips: $α (x)$ 是 $β (x)$ 的 $k$ 阶无穷小，即是说 $α (x)$ 和 $β (x)$ 相差了 $k$ 个数量级.

什么是等价无穷小（B001）

问题

已知，有两个无穷小

lim

α (x)

=

0

和

β (x)

=

0

, 则当

lim

\frac{α (x)}{β (x)}

=

1

的时候，

α (x)

与

β (x)

的关系是？

选项

[A].

α (x)

与

β (x)

是同阶无穷小

[B].

α (x)

是比

β (x)

低阶的无穷小

[C].

α (x)

是比

β (x)

高阶的无穷小，可记作

α (x)

=

o [β (x)]

[D].

α (x)

与

β (x)

是等价无穷小，可记作

α (x)

\sim

β (x)

[E].

α (x)

是

β (x)

的

k

阶无穷小

答案

$α (x)$ 与 $β (x)$ 是等价无穷小，可记作 $α (x)$ $\sim$ $β (x)$

Tips: $α (x)$ 和 $β (x)$ 是等价无穷小，即是说 $α (x)$ 与 $β (x)$ 在极限上可以认为是相等的.

什么是同阶无穷小（B001）

问题

已知，有两个无穷小

lim

α (x)

=

0

和

β (x)

=

0

, 则当

lim

\frac{α (x)}{β (x)}

=

c

(c \neq 0)

的时候，

α (x)

与

β (x)

的关系是？

选项

[A].

α (x)

是

β (x)

的

k

阶无穷小

[B].

α (x)

与

β (x)

是等价无穷小，可记作

α (x)

\sim

β (x)

[C].

α (x)

是比

β (x)

低阶的无穷小

[D].

α (x)

是比

β (x)

高阶的无穷小，可记作

α (x)

=

o [β (x)]

[E].

α (x)

与

β (x)

是同阶无穷小

答案

$α (x)$ 与 $β (x)$ 是同阶无穷小

Tips: $α (x)$ 与 $β (x)$ 是同阶无穷小，即是说 $α (x)$ 和 $β (x)$ 虽然不相等，但仍处于同一个量级.

什么是低阶无穷小（B001）

问题

已知，有两个无穷小

lim

α (x)

=

0

和

β (x)

=

0

, 则当

lim

\frac{α (x)}{β (x)}

=

\infty

的时候，

α (x)

与

β (x)

的关系是？

选项

[A].

α (x)

是

β (x)

的

k

阶无穷小

[B].

α (x)

与

β (x)

是等价无穷小，可记作

α (x)

\sim

β (x)

[C].

α (x)

与

β (x)

是同阶无穷小

[D].

α (x)

是比

β (x)

高阶的无穷小，可记作

α (x)

=

o [β (x)]

[E].

α (x)

是比

β (x)

低阶的无穷小

答案

$α (x)$ 是比 $β (x)$ 低阶的无穷小

Tips: $α (x)$ 是 $β (x)$ 的低阶无穷小，即是说 $α (x)$ 远大于 $β (x)$ .

什么是高阶无穷小（B001）

问题

已知，有两个无穷小

lim

α (x)

=

0

和

β (x)

=

0

, 则当

lim

\frac{α (x)}{β (x)}

=

0

的时候，

α (x)

与

β (x)

的关系是？

选项

[A].

α (x)

与

β (x)

是等价无穷小，可记作

α (x)

\sim

β (x)

[B].

α (x)

与

β (x)

是同阶无穷小

[C].

α (x)

是比

β (x)

低阶的无穷小

[D].

α (x)

是比

β (x)

高阶的无穷小，可记作

α (x)

=

o [β (x)]

[E].

α (x)

是

β (x)

的

k

阶无穷小

答案

$α (x)$ 是比 $β (x)$ 高阶的无穷小，可记作 $α (x)$ $=$ $o [β (x)]$

Tips: $α (x)$ 是 $β (x)$ 的高阶无穷小，即是说 $α (x)$ 远小于 $β (x)$ .

极限与无穷小的关系（B001）

问题

已知存在极限

lim_{x \to x_{0}}

f (x)

=

A

和无穷小

lim_{x \to x_{0}}

α (x)

=

0

, 则以下关于极限和无穷小的关系中，正确的是哪个？

选项

[A].

lim_{x \to x_{0}}

f (x)

=

A

\Leftrightarrow

f (x)

=

A

+

α (x)

[B].

lim_{x \to x_{0}}

f (x)

=

A

\Leftrightarrow

f (x)

<

A

+

α (x)

[C].

lim_{x \to x_{0}}

f (x)

=

A

\Leftrightarrow

f (x)

>

A

+

α (x)

[D].

lim_{x \to x_{0}}

f (x)

=

A

\Leftrightarrow

f (x)

\neq

A

+

α (x)

答案

$lim_{x \to x_{0}}$ $f (x)$ $=$ $A$ $\Leftrightarrow$ $f (x)$ $=$ $A$ $+$ $α (x)$