$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $r(\boldsymbol{A})$ $<$ $n$
$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $0$
$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 的特征值都不为 $0$
是
$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 的列（行）向量组线性无关
$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\boldsymbol{b}$ 有唯一解
$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\mathbf{0}$ 只有零解
$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 等价
可以。
$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 可以表示为若干初等矩阵的乘积
$\boldsymbol{A}^{*}$ 可逆
或
$|\boldsymbol{A}^{*}|$ $\neq$ $0$
$\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A})}$ $=$ $\textcolor{white}{n}$
$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{white}{E}}$
或
$\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{white}{E}}$
$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $\textcolor{orange}{|\boldsymbol{A}|}$ $\textcolor{red}{\neq}$ $\textcolor{cyan}{0}$
可逆矩阵有时候也被称为“非奇异矩阵”。
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，如果存在 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$, 使得：
$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{red}{E}}$
则称 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵或非奇异矩阵，并称 $\boldsymbol{B}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵，记作 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{-1}$.
当然，$\boldsymbol{A}$ 也可以称为 $\boldsymbol{B}$ 的逆矩阵，记作 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{-1}$.
$\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{-1}}$ 表示矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵
