一、题目
已知 $f(x)=x \tan \left(\frac{\pi}{6} \mathrm{e}^{\sin x}\right), x \in(-\infty,+\infty)$, 则 $f(x)$ 是
(A) 偶函数
(B) 无界函数
(C) 周期函数
(D) 单调函数
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继续阅读“这个复杂式子的求导你会吗？”标签： 高等数学练习题
洛必达法则只能用于求极限，不能用于传递极限值
一、题目
以下运算和结论都正确的有哪些？
(1) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}\left(\frac{2}{x^{3}}\right)}{1}=2 \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}$ $=$ $\frac{4}{3} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{5}}=\cdots=\infty$
(2) $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}=\cdots$, 由于分子与分母一直反复，所以该极限不存在。
(3) 由于 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\frac{\sin x}{x}}{1+\frac{\cos x}{x}}$ $=$ $\frac{1+0}{1+0}=1$, 另一方面 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ 为 “$\frac{\infty}{\infty}$” 型，由洛必达法则, $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\cos x}{1-\sin x}$, 所以 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\cos x}{1-\sin x}=1$
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继续阅读“洛必达法则只能用于求极限，不能用于传递极限值”乘法中的极限可以代入，加法中的极限不能代入
一、题目
以下极限等式（若某端极限存在，则另一端极限也存在且相等）成立的是：
(A) 设 $\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)=A$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{h(x)+g(x)}=\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{A+g(x)}$
(B) 设 $\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \left(h(x) \cdot \frac{f(x)}{g(x)}\right)=0$
(C) 设 $\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)=A \neq 0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{h(x) g(x)}=\frac{1}{A} \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{g(x)}$
(D) $\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x^{2}}+\frac{f(x)}{x}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^{2}}+\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$
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继续阅读“乘法中的极限可以代入，加法中的极限不能代入”当二重积分的积分区域中含有 x 的平方和 y 的平方时就可以考虑使用极坐标系了
一、题目
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant x\right \}$, 则 $I=\iint_{D}\left(x+y^{2}\right) \mathrm{~d} \sigma=?$
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继续阅读“当二重积分的积分区域中含有 x 的平方和 y 的平方时就可以考虑使用极坐标系了”这里的 “y” 真的只是 “y”
有些解微分方程的题目需要先「求导」
一、题目
已知，函数 $f(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续, 且满足方程 $f(t)=t^{2}+\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 则 $f(t)=?$
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继续阅读“有些解微分方程的题目需要先「求导」”这个「反直觉」的微分方程你会解吗？
一、题目
把 $x^{2}$ 看成 $y$ 的函数,求解微分方程 $\left(y^{4}-3 x^{2}\right) \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} x=0$, 则该方程的通解是（ ）
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继续阅读“这个「反直觉」的微分方程你会解吗？”一阶线性微分方程和极值结合的题目
一、题目
已知，函数 $f(x)$ 满足 $x f^{\prime}(x)-2 f(x)=-4 x$, 且由曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=1$ 以及 $x$ 轴可围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则 $f(x)=?$
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继续阅读“一阶线性微分方程和极值结合的题目”看上去像可分离变量的微分方程但“分不开”的时候，很可能就是齐次微分方程
一、题目
方程 $\left(y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ 满足条件 $y(1)=0$ 的特解为
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继续阅读“看上去像可分离变量的微分方程但“分不开”的时候，很可能就是齐次微分方程”如何根据微分方程的特解找出通解，进而还原这个微分方程？
一、题目
已知 $y_{1}=\cos 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$, $y_{2}=\sin 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$ 是某二阶线性常系数非齐次微分方程的两个解, $y_{3}=\cos 2 x$ 是它所对应的齐次方程的一个解，则该微分方程是？
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继续阅读“如何根据微分方程的特解找出通解，进而还原这个微分方程？”遇到不能用公式的二阶微分方程怎么办：先尝试降为一阶微分方程
一、题目
$x y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x \sin \frac{y^{\prime}}{x}$ 的通解是（ ）
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继续阅读“遇到不能用公式的二阶微分方程怎么办：先尝试降为一阶微分方程”被积函数中的根式中没有平方项不能用三角代换怎么办：整体代换
一、题目
已知 $a>0$, 则：
$$
I=\int_{0}^{a} x^{3} \sqrt{\frac{x}{a-x}} \mathrm{~d} x=?
$$
难度评级：
继续阅读“被积函数中的根式中没有平方项不能用三角代换怎么办：整体代换”在计算无穷限积分的时候，要注意应用极限的思想
一、题目
$$
I=\int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right] \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“在计算无穷限积分的时候，要注意应用极限的思想”对于含有反三角函数的积分可以用对应的三角函数代换求解
一、题目
$$
I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{\left(1+x^{2}\right)^{5 / 2}} \mathrm{~d} x=?
$$
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继续阅读“对于含有反三角函数的积分可以用对应的三角函数代换求解”如何通过通解还原微分方程？
一、题目
已知 $C_{1}, C_{2}$ 是两个任意常数, 则函数 $y=C_{1} \mathrm{e}^{2 x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}-2 x \mathrm{e}^{-x}$ 满足的一个微分方程是：
(A) $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=6 \mathrm{e}^{-x}$
(B) $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=6 \mathrm{e}^{-x}$
(C) $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^{-x}$
(D) $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^{-x}$
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继续阅读“如何通过通解还原微分方程？”