一、题目
已知 $a>0$, 则：
$$
I=\int_{0}^{a} x^{3} \sqrt{\frac{x}{a-x}} \mathrm{~d} x=?
$$
难度评级：
二、解析 
首先，由于被积函数的根式比较复杂，且没有平方项，无法使用三角代换，因此，我们尝试直接对根式部分整体代换，令：
$$
\textcolor{springgreen}{
t=\sqrt{\frac{x}{a-x}}
}
$$
则：
$$
t^{2}=\frac{x}{a-x} \Rightarrow
x=\frac{a t^{2}}{1+t^{2}} \Rightarrow
$$
$$
\mathrm{~ d} x=\frac{\left(2 a t\left(1+t^{2}\right)-2 a t^{3}\right) \mathrm{~ d} t}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} \Rightarrow
$$
$$
\mathrm{~ d} x=\frac{2 a t}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} \mathrm{~ d} t
$$
$$
x \in(0, a) \Rightarrow t \in(0,+\infty)
$$
于是：
$$
I=\int_{0}^{+\infty} \frac{a^{3} t^{6}}{\left(1+t^{2}\right)^{3}} \cdot t \cdot \frac{2 a t}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} \mathrm{~ d} t=
$$
$$
2 a^{4} \int_{0}^{+\infty} \frac{t^{8}}{\left(1+t^{2}\right)^{5}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
上面的式子的分母中出现了 “$1 + x^{2}$” 的形式，因此尝试用 $\tan$ 做三角代换：
$$
\textcolor{springgreen}{
t=\tan \theta, \theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)
}
$$
于是：
$$
I = 2 a^{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan ^{8} \theta \cos ^{10} \theta \frac{1}{\cos ^{2} \theta} \mathrm{~ d} \theta=
$$
$$
2 a^{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{8} \theta \mathrm{~ d} \theta=
$$
$$
2 a^{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}=\frac{35 a^{4}}{128} \pi
$$
在用 $x = \tan \theta$ 做三角代换的时候，有以下结论可以直接套用（注意以下两个式子都没有负号）：
$$
1 + x^{2} = \frac{1}{\cos ^{2} \theta}
$$
$$
\mathrm{d} x = \frac{1}{\cos ^{2} \theta}
$$