对于含有反三角函数的积分可以用对应的三角函数代换求解

一、题目

$$
I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{\left(1+x^{2}\right)^{5 / 2}} \mathrm{~d} x=?
$$

难度评级：

二、解析

$$
I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{\left(1+x^{2}\right)^{5 / 2}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

令 $\textcolor{springgreen}{x=\tan t} \Rightarrow$, 则：

$$
x \in(0,+\infty) \Rightarrow t \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{\mathrm{~ d} x = \mathrm{~ d} (\tan x) = \frac{1}{\cos ^{2} t} \mathrm{~ d} t }
$$

于是：

$$
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{t}{\left(1+\tan ^{2} t\right)^{5 / 2}} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} t} \mathrm{~ d} t
$$

又：

$$
\textcolor{springgreen}{
1+\tan ^{2} t=\frac{1}{\cos ^{2} t}
}
$$

于是：

$$
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \cdot \cos ^{5} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} t} \mathrm{~ d} t =
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \cos ^{3} t \mathrm{~ d} t=
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t\left(1-\sin ^{2} t\right) \mathrm{~ d} (\sin t) =
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \mathrm{~ d} \left(\sin t-\frac{1}{3} \sin ^{3} t\right)=
$$

$$
\left.t\left(\sin t-\frac{1}{3} \sin ^{3} t\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin t-\frac{1}{3} \sin ^{3} t\right) \mathrm{~ d} t=
$$

$$
\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left[-\left.\cos t\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{3} t \mathrm{~ d} t\right]=
$$

$$
\frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{2}-\left(1-\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1\right)= \frac{\pi}{3}-\frac{7}{9}
$$

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