如何根据微分方程的特解找出通解，进而还原这个微分方程？

一、题目

已知 $y_{1}=\cos 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$, $y_{2}=\sin 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$ 是某二阶线性常系数非齐次微分方程的两个解, $y_{3}=\cos 2 x$ 是它所对应的齐次方程的一个解，则该微分方程是？

难度评级：

二、解析

由题可知，$y_{1} – y_{2}$ 是齐次微分方程的解：

$$
y_{1} – y_{2} = \cos 2x – \sin 2x
$$

进而可知，$y_{1} – y_{2} – y_{3}$ 也是对应的齐次微分方程给的通解：

$$
y_{1} – y_{2} – y_{3} = – \sin 2x
$$

于是可知，该齐次微分方程的通解形式应为：

$$
y^{*} = e^{\alpha x} (C_{1} \cos \beta x + C_{2} \sin \beta x)
$$

于是，特征值为：

$$
\textcolor{springgreen}{
\lambda = 0 \pm 2 i
}
$$

即：

$$
\lambda^{2} + 4 = 0 \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime} + 4 y = 0
$$

进一步观察可知，既然 $y_{1}=\cos 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$, $y_{2}=\sin 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$ 中的 $\cos 2x$ 和 $\sin 2x$ 来自齐次微分方程的通解，那么，$\textcolor{springgreen}{-\frac{1}{4} x \cos 2 x}$ 就应该是非齐次微分方程的特解，于是：

$$
(-\frac{1}{4} x \cos 2 x)^{\prime} = \frac{-1}{4} (\cos 2x – 2x \sin 2x) \Rightarrow
$$

$$
(-\frac{1}{4} x \cos 2 x)^{\prime \prime} = \sin 2x + x \cos 2x
$$

于是：

$$
\textcolor{springgreen}{
(-\frac{1}{4} x \cos 2 x)^{\prime \prime} + 4 (-\frac{1}{4} x \cos 2 x) = \sin 2x
}
$$

于是，非齐次微分方程为：

$$
\textcolor{springgreen}{
y^{\prime \prime} + 4 y = \sin 2x
}
$$

---