遇到不能用公式的二阶微分方程怎么办：先尝试降为一阶微分方程

一、题目

$x y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x \sin \frac{y^{\prime}}{x}$ 的通解是（ ）

难度评级：

二、解析

首先，本题中的二阶微分方程并不满足 $y^{\prime \prime} + p(x) y^{\prime} = q(x)$ 的形式，因此，不能使用公式 $y = \Big[ \int p(x) e^{\int q(x) \mathrm{~ d} x} \mathrm{~ d} x + C \Big] \cdot e^{- \int q(x) \mathrm{~ d} x}$ 进行求解。

于是，我们先进行降阶，令 $p=y^{\prime}$, 则：

$$
x y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x \sin \frac{y^{\prime}}{x} \Rightarrow
$$

$$
x p^{\prime}=p+x \sin \frac{p}{x} \Rightarrow
$$

$$
x \frac{\mathrm{~ d} p}{\mathrm{~ d} x}=p+x \sin \frac{p}{x} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\frac{\mathrm{~ d} p}{\mathrm{~ d} x}=\frac{p}{x}+\sin \frac{p}{x} } \tag{1}
$$

上式其实是一个 $y^{\prime} = f( \frac{y}{x} )$ 形式的齐次微分方程，因此，令：

$$
u=\frac{p}{x}, \ p=u x
$$

则：

$$
p^{\prime}=u+x \frac{\mathrm{~ d} u}{\mathrm{~ d} x} \Rightarrow
$$

于是：

$$
\frac{\mathrm{~ d} p}{\mathrm{~ d} x}=\frac{p}{x}+\sin \frac{p}{x} \Rightarrow
$$

$$
x \frac{\mathrm{~ d} u}{\mathrm{~ d} x}=\sin u \Rightarrow
$$

分离变量（下面这段主要是对被积函数 $\textcolor{orangered}{\frac{1}{\sin x}}$ 的计算）：

$$
\frac{\mathrm{~ d} u}{\textcolor{orangered}{\sin u}}=\frac{\mathrm{~ d} x}{x x} \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{~ d} u}{2 \sin \frac{u}{2} \cos \frac{u}{2}}=\frac{\mathrm{~ d} x}{x} \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{~ d} u}{\textcolor{orangered}{2 \tan \frac{u}{2} \cos ^{2} \frac{u}{2}}}=\frac{\mathrm{~ d} x}{x} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orangered}{\ln \left|\tan \frac{u}{2}\right|}=\ln |x|+\ln \left|C_{1}\right| \Rightarrow
$$

$$
\tan \frac{u}{2}=C_{1} x \tag{2}
$$

于是：

$$
\frac{u}{2} = \arctan (C_{1} x)
$$

且：

$$
p=\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=u x
$$

则：

$$
\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=2 x \arctan \left(C_{1} x\right) \Rightarrow
$$

积分运算：

$$
y=\int 2 x \arctan \left(C_{1} x\right) \mathrm{~ d} x+C_{2}=
$$

$$
\int \arctan \left(C_{1} x\right) \mathrm{~ d} \left(x^{2}\right)+C_{2}=
$$

$$
x^{2} \arctan \left(C_{1} x\right)-\int \textcolor{orangered}{\frac{C_{1} x^{2}}{1+\left(C_{1} x\right)^{2}} } \mathrm{~ d} x+C_{2}=
$$

$$
x^{2} \arctan \left(C_{1} x\right) – \textcolor{springgreen}{\frac{1}{C_{1}}} \int \textcolor{orangered}{\frac{1+C_{1}^{2} x^{2}-1}{1+\left(C_{1} x\right)^{2}} } \mathrm{~ d} x+C_{2}=
$$

$$
x^{2} \arctan \left(C_{1} x\right) – \frac{x}{C_{1}} + \textcolor{springgreen}{\frac{1}{C_{1}}} \int \textcolor{orangered}{\frac{1}{1+\left(C_{1} x\right)^{2}} } \mathrm{~ d} x+C_{2}=
$$

$$
x^{2} \arctan \left(C_{1} x\right) – \textcolor{springgreen}{\frac{x}{C_{1}} } + \textcolor{orangered}{\frac{1}{C_{1}} \cdot \frac{1}{C_{1}} \arctan \left(C_{1} x\right) } + C_{2}
$$

于是：

$$
\begin{cases}
y=x^{2} \arctan \left(C_{1} x\right)-\frac{x}{C_{1}}+\frac{1}{C_{1}^{2}} \arctan \left(C_{1} x\right)+C_{2}, & C_{1} \neq 0 \\
y=C_{2}, & C_{1}=0
\end{cases}
$$

其中，$C_{1}$, $C_{2}$ 为任意常数。

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