在计算无穷限积分的时候，要注意应用极限的思想

一、题目

$$
I=\int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right] \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

$$
I=\int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right] \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0_{1}}^{+\infty}\left[\ln (1+x)-\ln x-\frac{1}{1+x}\right] \mathrm{~ d} x
$$

其中：

$$
\int[\ln (1+x)-\ln x] \mathrm{~ d} x-\int \frac{1}{1+x} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
x[\ln (1+x)-\ln x]-\int x\left(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{~ d} x- \int \frac{1}{1+x} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\int \frac{x+1}{1+x}-\int 1 \mathrm{~ d} x =x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)
$$

于是：

$$
I = \textcolor{orangered}{\left.x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right|}_{1} ^{ \textcolor{orangered}{+\infty} }=
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\left.\frac{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}\right|_{x \rightarrow+\infty}-\left.x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right|_{x=1}= 1-\ln 2
}
$$

注意：

$$
\left.x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right|_{1} ^{\textcolor{orangered}{+\infty} } \neq \textcolor{orangered}{0} – \ln 2
$$

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