一、题目
已知，函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 某邻域有定义，则存在函数 $g(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续并使 $f(x) – f\left(x_{0}\right)=\left(x-x_{0}\right) g(x)$ 是 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处可导的充要条件吗？
难度评级：
继续阅读“一点处导数是“该点处”的导数，而不是“趋于该点处”的导数”标签： 高等数学练习题
带有绝对值的一点处导数的定义怎么用？
一、题目
已知 $f(x), g(x)$ 在 $x=x_{0}$ 可导, $F(x)=g(x)|f(x)|$, 又 $f\left(x_{0}\right)=0$, 则 $F^{\prime}\left(x_{0}\right)$ 存在的充要条件是什么？
难度评级：
继续阅读“带有绝对值的一点处导数的定义怎么用？”只有乘以 “0” 才可以「抹平」跳跃间断点
一、题目
已知，连续函数 $F(x)=g(x) \varphi(x), x=a$ 是 $\varphi(x)$ 的跳跃间断点, $g^{\prime}(a)$ 存在, 则 $g(a)=0$, $g^{\prime}(a)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=a$ 处可导的充分必要条件吗？
难度评级：
继续阅读“只有乘以 “0” 才可以「抹平」跳跃间断点”极限存在会有界，但有界不一定存在极限
一、题目
已知 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，则 “$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在” 是 “$f(x)$ 为 $[a,+\infty)$ 上的有界函数” 的充要条件吗？
难度评级：
继续阅读“极限存在会有界，但有界不一定存在极限”乘法对间断点的「弥合」作用强于加法
一、题目
已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内都有定义，且 $x=x_{1}$ 是 $f(x)$ 的唯一间断点, $x=$ $x_{2}$ 是 $g(x)$ 的唯一间断点，则：
(A) 当 $x_{1}=x_{2}$ 时, $f(x)+g(x)$ 必有唯一的间断点 $x=x_{1}$
(B) 当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时, $f(x)+g(x)$ 必有两个间断点 $x=x_{1}$ 与 $x=x_{2}$
(C) 当 $x_{1}=x_{2}$ 时, $f(x) g(x)$ 必有唯一的间断点 $x=x_{1}$
(D) 当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时, $f(x) g(x)$ 必有两个间断点 $x=x_{1}$ 与 $x=x_{2}$
难度评级：
继续阅读“乘法对间断点的「弥合」作用强于加法”这个复杂式子的求导你会吗？
一、题目
已知 $f(x)=x \tan \left(\frac{\pi}{6} \mathrm{e}^{\sin x}\right), x \in(-\infty,+\infty)$, 则 $f(x)$ 是
(A) 偶函数
(B) 无界函数
(C) 周期函数
(D) 单调函数
难度评级：
继续阅读“这个复杂式子的求导你会吗？”洛必达法则只能用于求极限，不能用于传递极限值
一、题目
以下运算和结论都正确的有哪些？
(1) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}\left(\frac{2}{x^{3}}\right)}{1}=2 \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}$ $=$ $\frac{4}{3} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{5}}=\cdots=\infty$
(2) $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}=\cdots$, 由于分子与分母一直反复，所以该极限不存在。
(3) 由于 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\frac{\sin x}{x}}{1+\frac{\cos x}{x}}$ $=$ $\frac{1+0}{1+0}=1$, 另一方面 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ 为 “$\frac{\infty}{\infty}$” 型，由洛必达法则, $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\cos x}{1-\sin x}$, 所以 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\cos x}{1-\sin x}=1$
难度评级：
继续阅读“洛必达法则只能用于求极限，不能用于传递极限值”乘法中的极限可以代入，加法中的极限不能代入
一、题目
以下极限等式（若某端极限存在，则另一端极限也存在且相等）成立的是：
(A) 设 $\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)=A$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{h(x)+g(x)}=\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{A+g(x)}$
(B) 设 $\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \left(h(x) \cdot \frac{f(x)}{g(x)}\right)=0$
(C) 设 $\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)=A \neq 0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{h(x) g(x)}=\frac{1}{A} \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{g(x)}$
(D) $\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x^{2}}+\frac{f(x)}{x}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^{2}}+\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$
难度评级：
继续阅读“乘法中的极限可以代入，加法中的极限不能代入”当二重积分的积分区域中含有 x 的平方和 y 的平方时就可以考虑使用极坐标系了
题目
设积分区域 $D=\{(x, y) \mid 1 \leqslant x+y \leqslant 2, x \geqslant 0, y \geqslant 0 \}$, 则 $\iint_{D} \frac{\mathrm{d} \sigma}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=$
解析
首先确定积分区域：
$$
x+y \geqslant 1 \Rightarrow y \geqslant-x+1
$$
$$
x+y \leqslant 2 \Rightarrow y \leqslant-x+2
$$
转为极坐标系：
$$
\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array} \quad\right. \Rightarrow
$$
$$
\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)
$$
又：
$$
x+y \geqslant 1 \Rightarrow
$$
$$
r \cos \theta+r \sin \theta \geqslant 1 \Rightarrow r(\cos \theta+\sin \theta) \geqslant 1 \Rightarrow
$$
$$
r \geqslant \frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}
$$
同理：
$$
x+y \leqslant 2 \Rightarrow r \leqslant \frac{2}{\cos \theta+\sin \theta}
$$
于是：
$$
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~ d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{\frac{2}{\cos \theta+\sin \theta}} \mathrm{~ d} r \Rightarrow
$$
$$
\textcolor{springgreen}{
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos \theta+\sin \theta} \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow t=\tan \frac{\theta}{2} } \tag{1}
$$
令：
$$
\frac{\theta}{2}=\arctan t
$$
则：
$$
\mathrm{~ d} \theta=\frac{2}{1+t^{2}} \mathrm{~ d} t
$$
$$
\sin \theta=\frac{2 t}{1+t^{2}}
$$
$$
\cos \theta=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}
$$
$$
\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \quad t \in(0,1)
$$
于是：
$$
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos \theta+\sin \theta} \mathrm{~ d} \theta =
$$
$$
\int_{0}^{1} \frac{1 + t^{2}}{2 t+1-t^{2}} \cdot \frac{2}{1+t^{2}} \mathrm{~ d} t=
$$
$$
\int_{0}^{1} \frac{2}{2 t+1-t^{2}} \mathrm{~ d} t = \frac{1}{2-(t-1)^{2}} \mathrm{~ d} t
$$
又：
$$
u=t-1 \Rightarrow t \in(0,1), u \in(-1,0)
$$
于是：
$$
I=\int_{-1}^{0} \frac{2}{2-u^{2}} \mathrm{~ d} u=\int_{-1}^{0} \frac{2}{(\sqrt{2}+u)(\sqrt{2}-u)} \mathrm{~ d} u=
$$
$$
\frac{1}{\sqrt{2}} \int_{-1}^{0}\left(\frac{1}{\sqrt{2}+u}+\frac{1}{\sqrt{2}-u}\right) \mathrm{~ d} u=
$$
$$
\left.\frac{1}{\sqrt{2}}[\ln (\sqrt{2}+u)-\ln (\sqrt{2}-u)]\right|_{-1} ^{0}=
$$
$$
\left.\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \frac{\sqrt{2} + u}{\sqrt{2} – u} \right|_{-1} ^{0}=
$$
$$
\frac{1}{\sqrt{2}} \left[\ln 1-\ln \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right]=\frac{-1}{\sqrt{2}} \ln \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}
$$
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这里的 “y” 真的只是 “y”
有些解微分方程的题目需要先「求导」
一、题目
已知，函数 $f(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续, 且满足方程 $f(t)=t^{2}+\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 则 $f(t)=?$
难度评级：
继续阅读“有些解微分方程的题目需要先「求导」”这个「反直觉」的微分方程你会解吗？
一、题目
把 $x^{2}$ 看成 $y$ 的函数,求解微分方程 $\left(y^{4}-3 x^{2}\right) \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} x=0$, 则该方程的通解是（ ）
难度评级：
继续阅读“这个「反直觉」的微分方程你会解吗？”一阶线性微分方程和极值结合的题目
一、题目
已知，函数 $f(x)$ 满足 $x f^{\prime}(x)-2 f(x)=-4 x$, 且由曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=1$ 以及 $x$ 轴可围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则 $f(x)=?$
难度评级：
继续阅读“一阶线性微分方程和极值结合的题目”看上去像可分离变量的微分方程但“分不开”的时候，很可能就是齐次微分方程
一、题目
方程 $\left(y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ 满足条件 $y(1)=0$ 的特解为
难度评级：
继续阅读“看上去像可分离变量的微分方程但“分不开”的时候，很可能就是齐次微分方程”如何根据微分方程的特解找出通解，进而还原这个微分方程？
一、题目
已知 $y_{1}=\cos 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$, $y_{2}=\sin 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$ 是某二阶线性常系数非齐次微分方程的两个解, $y_{3}=\cos 2 x$ 是它所对应的齐次方程的一个解，则该微分方程是？
难度评级：
继续阅读“如何根据微分方程的特解找出通解，进而还原这个微分方程？”