高等数学练习题 – 第 14 页

一、题目

已知 $I$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{(x+1)(2 x+1)(3 x+1)(4 x+1)(5 x+1)}{(2 x-1)^{\alpha}}=\beta \neq 0$, 则：

$$
\begin{cases}
\alpha = ? \\
\beta = ?
\end{cases}
$$

难度评级：

继续阅读

一、题目

已知 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)(2 x+1)(3 x+1)(4 x+1)(5 x+1)+a x+b}{x+x^{2}}$ $=$ $16$, 则 $a = ?$, $b = ?$

难度评级：

继续阅读

一、题目

$$
I=\int \frac{\mathrm{d} x}{\sin x \cos x} = ?
$$

难度评级：

继续阅读

一、题目

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(1)=0$, 请证明 $\exists \xi \in(\mathbf{0}, \mathbf{1})$, 使 $\xi f^{\prime}(\xi)=-f(\xi)$ 成立.

难度评级：

继续阅读

一、题目

$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{(2 x-3)^{20}(3 x+2)^{30}}{(2 x+1)^{50}+x^{48}(2 x-1)} = ?
$$

难度评级：

继续阅读

一、前言

在被积函数中，如果我们能找到两部分式子 “$\square$” 和 “$\triangle$” 是导数和原函数的关系，例如：

$$
(\square)^{\prime} = \triangle
$$

则可凑微分为：

$$
\int \square \cdot \triangle \mathrm{~d} x = \int \square \mathrm{~d} (\square)
$$

在本文中，荒原之梦考研数学网将通过几个例题演示上面的凑微分方法。

继续阅读

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学网将给出几道涉及幂函数凑微分的题目及解析——

对于这类题目，判断能否尝试凑微分的一个关键“标志性信号”就是观察被积函数中是否存在次幂相差 $1$ 的部分。

继续阅读

一、题目

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{(x+a)^{x+a}(x+b)^{x+b}}{(x+a+b)^{2 x+a+b}} = ?
$$

难度评级：

继续阅读

一、题目

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{5^{n}+2^{n}}{5^{n+1}+2^{n+1}} = ?
$$

难度评级：

继续阅读

一、题目

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \left( \frac{x}{x-1} \ – \ \frac{1}{\ln x} \right) = ?
$$

难度评级：

继续阅读

一、题目

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{(n + 1)^{n}} = ?
$$

难度评级：

继续阅读

一、题目

设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处的曲率圆为 $x^{2}+(y-1)^{2}=1$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 为 $x^{2}$ 的 ( )

(A) 高阶无穷小

(B) 低阶无穷小

(D) 同阶但不等价无穷小

难度评级：

继续阅读

一、题目

已知，曲线 $y = f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{~d} t = x^{2} + f(x)$, 求 $f(x)$ 的表达式。

难度评级：

继续阅读

导数不存在不一定没有切线：导数不能以极限的形式存在，但是切线可以以极限的形式存在

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{x}, & x \geqslant 0 \\ \sqrt{-x}, & x<0\end{array}\right.$, 则：

(A) $f(x)$ 在 $x=0$ 不连续

(B) $f^{\prime}(0)$ 存在

(D) $f^{\prime}(0)$ 不存在, 曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,0)$ 有切线

难度评级：

继续阅读

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{x} \ln \left(1+x^{3}\right) \sin \frac{1}{x}, & x>0 \\
-0, & x=0, \\
\frac{1}{x} \int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~d} t, & x<0
\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处：

(A) 不连续

(B) 连续但不可导

(D) 可导且导函数连续

难度评级：

二、解析

首先：

$$
\left(\int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~ d} t\right)_{x}^{\prime}=2 x \sin x^{2} \sim k x^{3} \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~ d} t \sim k x^{4}
$$

所以：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{3}}{x} \sin \frac{1}{x}=0
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x} \int_{0}^{x^{3}} \sin t \mathrm{~ d} t \approx \lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} x^{3}=0
$$

于是可知，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

又：

$$
f^{\prime}\left(0^{+}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-0}{x}=0
$$

$$
f^{\prime}\left(0^{-}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-0}{x}=0
$$

于是可知，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导。

但是，由于：

$$
\left(\frac{1}{x} \int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~ d} t\right)_{x}^{\prime}=\frac{-1}{x^{2}} \int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~ d} t+\frac{1}{x} \cdot 2 x \sin x^{2} \neq 0
$$

于是可知，$f(x)$ 的导数在 $x = 0$ 处不连续。