标签： 高等数学练习题

一、题目

$x y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x \sin \frac{y^{\prime}}{x}$ 的通解是（ ）

难度评级：

继续阅读“遇到不能用公式的二阶微分方程怎么办：先尝试降为一阶微分方程”

一、题目

$$
I=\int_{-1}^{0} \frac{\ln (1+x)}{\sqrt[3]{1+x}} \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

令：

$$
\textcolor{springgreen}{
t=\sqrt[3]{1+x}
}
$$

于是：

$$
t^{3}=1+x, \ x=t^{3}-1
$$

$$
\mathrm{~ d} x=3 t^{2} \mathrm{~ d} t, \quad \ln (1+x)=\ln \left(t^{3}\right)
$$

$$
x \in(-1,0) \Rightarrow \mathrm{~ d} t \in(0,1)
$$

于是：

$$
I=\int_{0}^{1} \frac{\ln \left(t^{3}\right)}{t} 3 t^{2} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
I=3 \int_{0}^{1} t \ln \left(t^{3}\right) \mathrm{~ d} t=
$$

吸收合并，为分部积分做准备：

$$
\frac{3}{2} \int_{0}^{1} \ln \left(t^{3}\right) \mathrm{~ d} \left(t^{2}\right) =
$$

分部积分：

$$
\left.\frac{3}{2} t^{2} \ln \left(t^{3}\right)\right|_{0} ^{1}-\frac{3}{2} \int_{0}^{1} t^{2} \cdot \frac{3 t^{2}}{t^{3}} \mathrm{~ d} t =
$$

由于指数函数 $t^{2}$ 的增长率远大于对数函数 $\ln (t^{3})$, 因此，当 $t \rightarrow 0$ 时，$t^{2}$ 是 $\ln (t^{3})$ 的高阶无穷小，即 $\lim_{x \rightarrow 0} t^{2} \ln (t^{3}) = 0$:

$$
\frac{2}{3} \cdot 0-\frac{9}{2} \int_{0}^{1} t \mathrm{~ d} t=-\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2}=-\frac{9}{4}
$$

---

一、题目

$$
I=\int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right] \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“在计算无穷限积分的时候，要注意应用极限的思想”

一、题目

$$
I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{\left(1+x^{2}\right)^{5 / 2}} \mathrm{~d} x=?
$$

难度评级：

继续阅读“对于含有反三角函数的积分可以用对应的三角函数代换求解”

一、题目

已知 $C_{1}, C_{2}$ 是两个任意常数, 则函数 $y=C_{1} \mathrm{e}^{2 x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}-2 x \mathrm{e}^{-x}$ 满足的一个微分方程是：

(A) $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=6 \mathrm{e}^{-x}$

(B) $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=6 \mathrm{e}^{-x}$

(C) $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^{-x}$

(D) $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^{-x}$

难度评级：

继续阅读“如何通过通解还原微分方程？”

一、题目

已知方程 $y^{\prime \prime}+q y=0$ 存在当 $x \rightarrow+\infty$ 时趋于零的非零解, 则：

(A) $q>0$

(B) $q \geqslant 0$

(C) $q<0$

(D) $q \leqslant 0$

难度评级：

继续阅读“判断微分方程解的形式有时候需要分类讨论”

一、题目

由曲线 $y=\operatorname{ch} x=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}$ 及三条直线 $x=-1$, $x=1$, $y=0$ 围成的曲边梯形绕 $Y$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积等于多少？

难度评级：

继续阅读“求旋转体的体积，但是不会画函数图像怎么办？”

一、题目

若 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫, 又 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x f(x)=l$, 则

(A) $l>0$

(B) $l=0$

(C) $l<0$

(D) 以上均不对

难度评级：

继续阅读“涉及抽象函数的题目可以优先尝试举特例”

一、题目

若 $a>0, f(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续, 并且当 $0 \leqslant x \leqslant \frac{a}{2}$ 时 $f(x)+f(a-x)=0$, 则 $\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x$

(A) $>0$

(B) $<0$

(C) $=0$

(D) 不能确定符号

难度评级：

继续阅读“解题思路：把要求解的式子的形式往已知的形式上凑”

一、题目

曲线 $y=(x+2) \mathrm{e}^{\frac{-1}{x}}$

(A) 仅有水平渐近线

(B) 仅有铅直渐近线

(C) 既有铅直又有水平渐近线

(D) 既有铅直又有斜渐近线

难度评级：

继续阅读“对函数垂直渐近线的考察需要分「左右」两侧”

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导, $x_{0} \neq 0,\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是 $y=f(x)$ 的拐点, 则：

(A) $x_{0}$ 必是 $f^{\prime}(x)$ 的驻点

(B) $\left(-x_{0},-f\left(x_{0}\right)\right)$ 必是 $y=-f(-x)$ 的拐点

(C) $\left(-x_{0},-f\left(-x_{0}\right)\right)$ 必是 $y=-f(x)$ 的拐点

(D) 对任意 $x>x_{0}$ 与 $x<x_{0}, y=f(x)$ 的凹凸性相反

难度评级：

继续阅读“拐点不一定是驻点”

一、题目

曲线 $y=2 x-\sqrt{x^{2}-1}$ 的斜渐近线为（）

难度评级：

继续阅读“求解斜渐近线：原函数除以 x”

一、题目

已知 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 邻域二阶连续可导且满足 $x y^{\prime \prime}+y^{\prime 2}=\arctan ^{2} x$, 则：

(A) $x=0$ 是 $y(x)$ 的极小值点

(B) $x=0$ 是 $y(x)$ 的极大值点

(C) $(0, y(0))$ 点是 $y=y(x)$ 的拐点

(D) 以上均不对

难度评级：

继续阅读“「零负」乘以「零负」得「零正」”

一、题目

已知 $f(x)=x \sin x+\cos x$, 下列命题中正确的是：

(A) $f(0)$ 是极大值, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极小值

(B) $f(0)$ 是极小值, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极大值

(C) $f(0), f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 均是极大值

(D) $f(0), f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 均是极小值

难度评级：

继续阅读“你会用一阶导还是二阶导判断极值点？”