标签： 高等数学基础

一、题目

已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_{n} = 2$, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n-1} = 5$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = ?$

继续阅读“一种展示数列变化并进行计算的图形绘制方法”

一、前言

一阶线性微分方程的求解公式一般都是用不定积分表示的，虽然这样的表达形式在很多情况下都适用，但在某些特殊情况下，我们则需要将公式中的部分不定积分更改为变限积分.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们深入剖析一下将一阶线性微分方程中的部分不定积分写成变限积分的用途和原理，以及注意事项。

继续阅读“在一阶线性微分方程的求解公式中可以使用变限积分”

一、前言

在「荒原之梦」的文章《通过分类讨论分析函数乘积平移的性质》中，我们使用传统数学中符号推理的方式，研究了下面这个问题：

已知，函数 $\mathrm{Z}_{1}(x) = f(x) \cdot g(x)$, 接着，我们将函数 $g(x)$ 向左平移 $k$ 个单位，得到函数 $g(x+k)$, 那么，当函数 $f(x)$ 满足什么条件的时候，函数 $\mathrm{Z}_{2}(x) = f(x) \cdot g(x+k)$ 实际上可以看作是由函数 $\mathrm{Z}_{1}(x)$ 平移得到的呢？并且函数 $\mathrm{Z}_{1}(x)$ 向哪个方向平移了多少个单位得到了函数 $\mathrm{Z}_{2}(x)$ ?

在本文中，「荒原之梦」将对上面的问题进一步深入探讨，并用「荒原之梦」独创的图形推理的方式，研究以下三组函数的平移变换性质：

$$
\begin{aligned}
\mathbf{No.1} & \begin{cases}
\mathrm{Z}_{1}(x) = f(x) \cdot g(x) \\
\mathrm{Z}_{2}(x) = f(x) \cdot g(x + k)
\end{cases} \\ \\
\mathbf{No.2} & \begin{cases}
\mathrm{Z}_{3}(x) = f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \\
\mathrm{Z}_{4}(x) = f(x) \cdot g(x+k) \cdot h(x+l)
\end{cases} \\ \\
\mathbf{No.3} & \begin{cases}
\mathrm{Z}_{5}(x) = f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \\
\mathrm{Z}_{6}(x) = f(x) \cdot g(x+k) \cdot h(x-m)
\end{cases}
\end{aligned}
$$

其中，$k > 0$, $l > 0$, $m > 0$.

在本文中，我们将基于「荒原之梦」定义的“矢量乘法模型”这一工具，通过绘图的方式，直观地说明，当我们把函数 $\mathrm{Z}_{2}(x)$ 看作是由函数 $\mathrm{Z}_{1}(x)$ 沿着坐标系的 $X$ 轴左右平移得到的时候，函数 $f(x)$, $g(x)$ 和 $h(x)$ 需要具有什么样的性质，以及函数 $\mathrm{Z}_{i}(x)$（其中，$i$ $=$ $1,2,3,4,5,6$）左右平移的距离与函数 $g(x)$ 和 $h(x)$ 的左右平移距离之间具有什么样的关系。

继续阅读“基于矢量乘法模型分析函数乘积平移的性质”

一、前言

在「荒原之梦」的《两个函数发生平移变换前后相乘所得函数相等性的分析》这篇文章中，我们分析了当函数 $Z_{1}(x) = f(x) \cdot g(x)$, $Z_{2}(x) = f(x) \cdot g(x – k)$ 时，函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 需要满足什么条件才可以使得 $Z_{1}(x) = Z_{2}(x)$.

在本文中，我们则要回答下面这个问题：

已知，函数 $Z_{1}(x) = f(x) \cdot g(x)$, 接着，我们将函数 $g(x)$ 向左平移 $k$ 个单位，得到函数 $g(x+k)$, 那么，当函数 $f(x)$ 满足什么条件的时候，函数 $Z_{2}(x) = f(x) \cdot g(x+k)$ 实际上可以看作是由函数 $Z_{1}(x)$ 平移得到的呢？并且函数 $Z_{1}(x)$ 向哪个方向平移了多少个单位得到了函数 $Z_{2}(x)$ ?

对于上面的问题，我们不考虑函数定义域的限制.

二、正文

首先，根据前面的描述，我们知道：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{aligned}
& Z_{1}(x) = f(x) \cdot g(x) \\
& Z_{2}(x) = f(x) \cdot g(x+k)
\end{aligned}
} \tag{1}
$$

那么，假设函数 $Z_{2}(x)$ 是由函数 $Z_{1}(x)$ 向左平移 $h$ 个单位得到的（可以通过 $h$ 的正负反映向左或者向右不同的平移方向），则根据问题中的描述，可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
Z_{2}(x) = Z_{1}(x+h) } \tag{2}
$$

于是，结合 $(1)$ 式与 $(2)$ 式，可得：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f(x) \cdot g(x+k) = f(x+h) \cdot g(x+h)
} \tag{3}
$$

若要使上面的 $(3)$ 式成立，需要 $f(x)$ 为周期函数，论述如下——

若函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $T$, 且 $h = nT$（$n$ 为整数），则：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f(x+h) = f(x+nT) = f(x)
} \tag{4}
$$

此时，上面的 $(3)$ 式可以写成：

$$
\begin{align}
& f(x) \cdot g(x+k) = f(x) \cdot g(x+h) \notag \\ \notag \\
\leadsto \ & \textcolor{lightgreen}{ g(x+k) = g(x+h) } \tag{5}
\end{align}
$$

若要使得上面的 $(5)$ 式成立，则需要有：

$$
k = h
$$

因此，结论为：当 $f(x)$ 为周期函数时——

若 $k > 0$, 且 $l > 0$, 则函数 $Z_{2}(x)$ 是由函数 $Z_{1}(x)$ 向左平移 $k$ 个单位得到的；类似的，若 $k < 0$, 且 $l < 0$, 则函数 $Z_{2}(x)$ 是由函数 $Z_{1}(x)$ 向右平移 $|k|$ 个单位得到的.

当然，常数函数也是一个特殊的周期函数，所以，当 $f(x)$ 为常数函数的时候，上面的结论也成立.

拓展资料

[1]. 基于矢量乘法模型分析函数乘积平移的性质
[2]. 在一阶线性微分方程的求解公式中可以使用变限积分

---

一、前言

一点处的函数值有多种等价的表示形式，在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们做一个总结。

继续阅读“一点处函数值的多种表示形式”

一、前言

在高等数学中，我们会用到“极限存在”和“极限不存在”这样的表述。那么：

1. 等于零属于极限存在的范畴吗？
2. 趋于零属于极限存在的范畴吗？
3. 趋于无穷小属于极限存在的范畴吗？
4. 趋于无穷大属于极限存在的范畴吗？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将针对上面的问题逐一解答。

继续阅读“什么叫极限存在？什么叫极限不存在？”

一、前言

已知微分方程中 $y$ 是 $x$ 的函数，即 $y = y(x)$, 那么，为什么对微分方程 $\frac{y^{\prime}}{y}$ $=$ $\frac{-1}{x}$ 左右两边同时进行的积分对应的式子是：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} y = \int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x
}
$$

而不是：

$$
\textcolor{yellow}{
\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} x = \int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x
}
$$

同时，在本文中，「荒原之梦考研数学」也会从底层原理的角度，给同学们讲清楚为什么式子 $\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} y$ 和 $\int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x$ 是相等的。

继续阅读“为什么对 $y$ 的积分和对 $x$ 的积分可以相等？”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们讲解，在二阶常系数微分方程 $y ^{\prime \prime} + p y ^{\prime} + qy$ $=$ $f(x)$ 中，解的二阶导函数 $y ^{\prime \prime}$ 的连续性如何判断的问题。

其中，$p$ 和 $q$ 为常数，$f(x)$ 为微分方程的右端项。

继续阅读“为什么二阶微分方程中解的二阶导函数的连续性只取决于右端项的连续性？”

一、前言

假设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可能是连续函数，也可能含有可去间断点，或者跳跃间断点，或者无穷间断点，或者震荡间断点，那么，如何判断函数 $f(x) \pm g(x)$ 的连续性？

Tip

阅读本文前，首先需要对函数的间断点有一个整体的认识，相关内容可以查阅《函数间断点的分类与图象示例》这篇文章。

zhaokaifeng.com

继续阅读“加减运算对函数连续性的影响”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过直观形象的图示，为同学讲解清楚函数的间断点。

继续阅读“函数间断点的分类与图象示例”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助积分的平滑性来证明“可导必连续”这一结论，有关该结论的另一种证明方式，可以查阅《关于可导必连续的一个传统方式证明》这篇文章。

继续阅读“关于可导必连续的一个基于积分平滑性的证明”

一、前言

所谓“可导必连续”说的是，如果一个函数 $f(x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处的导数 $f ^{\prime} (x_{0})$ 存在，那么，函数 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 处一定是连续的。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过导数的定义证明上面的结论。

继续阅读“关于可导必连续的一个传统方式证明”

一、前言

积分运算具有使被积函数变得更加平滑的能力，但是，很多参考资料并没有从本质上解释清楚为什么积分具有“平滑”的作用，只是单纯的抛出了这一个结论。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将从本质上阐述清楚积分为什么具有平滑的能力。

继续阅读“为什么积分运算具有使函数变得“平滑”的能力？”

一、前言

等价无穷小公式是考研数学中一个非常常用的工具。

但是，这些等价无穷小公式都是怎么来的呢？

如果说 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$ 就意味着 $\lim_{x \rightarrow 0} \alpha(x)$ 和 $\lim_{x \rightarrow 0} \beta(x)$ 是等价无穷小，但是，为什么式子 $\frac{\lim_{x \rightarrow 0} \alpha(x)}{\lim_{x \rightarrow 0} \beta(x)}$ 就等于 $1$ 呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助“一点处的斜率”这一概念，为同学讲清楚等价无穷小公式的来龙去脉。当然，同学们也可以借助本文中使用的方法，来推导和记忆等价无穷小公式。

继续阅读“等价无穷小的本质：$x = 0$ 处斜率相等”