高等数学基础归档 - 第21页共54页

平面薄片的质心坐标（B020）

问题

已知，平面薄片 $D$ 的面密度为 $\rho(x, y)$, 若 $\rho(x, y)$ 在 $D$ 上连续，则，薄片的质心坐标 $(\bar{x}, \bar{y})$ 为多少？

选项

[A]. $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$

[B]. $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iint_{D} x \rho^{\prime}(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iint_{D} y \rho^{\prime}(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$

[C]. $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iint_{D} x^{\prime} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iint_{D} y^{\prime} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$

[D]. $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iint_{D} x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iint_{D} y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$

答案

$\bar{x}$ $=$ $\frac{\iint_{D} x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iint_{D} y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$

空间曲面的面积（B020）

问题

已知曲面 $A$ 由方程 $z$ $=$ $f(x, y)$ 确定，平面区域 $D_{x y}$ 为曲面 $A$ 在三维直角坐标系 $x O y$ 面上的投影，且函数 $f(x, y)$ 在区域 $D_{x y}$ 上具有连续的偏导数 $f_{x}(x, y)$ 和 $f_{y}(x, y)$, 则曲面的面积 $S$ $=$ $?$

选项

[A]. $S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

[B]. $S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

[C]. $S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

[D]. $S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{1-\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}-\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

答案

$S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

曲顶柱体体积的计算（B020）

问题

已知，$D$ 是曲顶柱体 $\Omega$ 在三维直角坐标系 $x O y$ 面上的投影，那么，曲顶柱体 $\Omega$ 的体积 $V$ $=$ $?$

选项

[A]. $V$ $=$ $\iint_{D}$ $|$ $z(x, y)$ $|$ $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$

[B]. $V$ $=$ $\iint_{D^{2}}$ $|$ $z(x, y)$ $|$ $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$

[C]. $V$ $=$ $-$ $\iint_{D}$ $z(x, y)$ $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$

[D]. $V$ $=$ $\iint_{D}$ $z(x, y)$ $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$

答案

$V$ $=$ $\iint_{D}$ $|$ $z(x, y)$ $|$ $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$

第二类曲面积分中积分区域的方向性（B019）

问题

已知 $\Sigma$ 为有向曲面，$\Sigma^{-}$ 与 $\Sigma$ 的法向量相反，则，根据第二类曲面积分中积分区域的方向性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\begin{cases} \iint_{\Sigma^{-}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\frac{1}{\Sigma}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \\ \iint_{\Sigma^{-}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=\iint_{\frac{1}{\Sigma}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x, \\ \iint_{\Sigma^{-}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\frac{1}{\Sigma}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y. \end{cases}$

[B]. $\begin{cases} \iint_{\Sigma^{-}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-\iint_{\frac{1}{\Sigma}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \\ \iint_{\Sigma^{-}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=-\iint_{\frac{1}{\Sigma}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x, \\ \iint_{\Sigma^{-}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{\frac{1}{\Sigma}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y. \end{cases}$

[C]. $\begin{cases} \iint_{\Sigma^{-}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \\ \iint_{\Sigma^{-}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=\iint_{\Sigma} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x, \\ \iint_{\Sigma^{-}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y. \end{cases}$

[D]. $\begin{cases} \iint_{\Sigma^{-}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \\ \iint_{\Sigma^{-}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=-\iint_{\Sigma} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x, \\ \iint_{\Sigma^{-}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{\Sigma} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y. \end{cases}$

答案

$\begin{cases} \iint_{\Sigma^{-}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \\ \iint_{\Sigma^{-}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=-\iint_{\Sigma} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x, \\ \iint_{\Sigma^{-}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{\Sigma} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y. \end{cases}$

第二类曲面积分的积分区域可加性（B019）

问题

已知积分区域 $\Sigma$ $=$ $\Sigma_{1}$ $+$ $\Sigma_{2}$ , 则，根据第二类曲面积分的性质，$\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $?$

选项

[A]. $\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $+$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$

[B]. $\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\frac{1}{\Sigma_{1}}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $+$ $\iint_{\frac{1}{\Sigma_{2}}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$

[C]. $\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $\times$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$

[D]. $\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $-$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$

答案

$\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $+$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$

第一类曲面积分的积分区域可加性（B018）

问题

已知积分区域 $\Sigma$ $=$ $\Sigma_{1}$ $+$ $\Sigma_{2}$, 则，根据第一类曲面积分的性质，$\iint_{\Sigma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $?$

选项

[A]. $\iint_{\Sigma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $\iint_{\frac{1}{\Sigma_{1}}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $+$ $\iint_{\frac{1}{\Sigma_{2}}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$

[B]. $\iint_{\Sigma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $\times$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$

[C]. $\iint_{\Sigma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $-$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$

[D]. $\iint_{\Sigma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $+$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$

答案

$\iint_{\Sigma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $+$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$

第一类曲面积分中被积函数为 $1$ 时的性质（B018）

问题

已知被积函数 $f(x, y, z)$ $=$ $1$, $S$ 为积分区域 $\Sigma$ 的面积，则 $\iint_{\Sigma}$ $1$ $\mathrm{~d} s$ $=$ $?$

选项

[A]. $\iint_{\Sigma}$ $1$ $\mathrm{~d} s$ $=$ $S^{3}$

[B]. $\iint_{\Sigma}$ $1$ $\mathrm{~d} s$ $=$ $S^{2}$

[C]. $\iint_{\Sigma}$ $1$ $\mathrm{~d} s$ $=$ $S$

[D]. $\iint_{\Sigma}$ $1$ $\mathrm{~d} s$ $=$ $\frac{1}{S}$

答案

$\iint_{\Sigma}$ $1$ $\mathrm{~d} s$ $=$ $S$

第二类曲线积分中常数的运算性质/线性（B017）

问题

已知 $\alpha$ 和 $\beta$ 为常数，则 $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $+$ $\beta$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\big]$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $+$ $\beta$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\big]$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\frac{1}{\alpha}$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\frac{1}{\beta}$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

[B]. $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $+$ $\beta$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\big]$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $\times$ $\beta$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

[C]. $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $+$ $\beta$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\big]$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $-$ $\beta$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

[D]. $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $+$ $\beta$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\big]$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\beta$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

答案

$\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $+$ $\beta$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\big]$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\beta$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

第二类曲线积分中积分路径的可加性（B017）

问题

已知，有向曲线弧 $L$ 可分成两段光滑的有向曲线弧 $L_{1}$ 和 $L_{2}$, 则 $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\int_{L + L_{1}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\int_{L + L_{2}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

[B]. $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\int_{L_{1}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $-$ $\int_{L_{2}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

[C]. $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\int_{L_{1}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\int_{L_{2}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

[D]. $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\int_{\frac{1}{L_{1}}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\int_{\frac{1}{L_{2}}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

答案

$\int_{L}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\int_{L_{1}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\int_{L_{2}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

第二类曲线积分中积分路径相反时的转换方式/有向性（B017）

问题

已知第二类曲线积分中的积分路径 $L$ 为有向曲线弧，$L^{-}$ 为与 $L$ 方向相反的曲线，则，当积分路径分别为 $L$ 和 $L^{-}$ 时，以下等式所对应的转换关系正确的是哪个？

选项

[A]. $\begin{cases} \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=-\int_{L^{-}} P(x, y) \mathrm{d} x, \\ \int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y=-\int_{L^{-}} Q(x, y) \mathrm{d} y. \end{cases}$

[B]. $\begin{cases} \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=\frac{1}{\int_{L^{-}} P(x, y) \mathrm{d} x}, \\ \int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y=\frac{1}{\int_{L^{-}} Q(x, y) \mathrm{d} y}. \end{cases}$

[C]. $\begin{cases} \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=-\int_{\frac{1}{L^{-}}} P(x, y) \mathrm{d} x, \\ \int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y=-\int_{\frac{1}{L^{-}}} Q(x, y) \mathrm{d} y. \end{cases}$

[D]. $\begin{cases} \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=\int_{L^{-}} P(x, y) \mathrm{d} x, \\ \int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_{L^{-}} Q(x, y) \mathrm{d} y. \end{cases}$

答案

$\begin{cases} \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=-\int_{L^{-}} P(x, y) \mathrm{d} x, \\ \int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y=-\int_{L^{-}} Q(x, y) \mathrm{d} y. \end{cases}$

第一类曲线积分中的轮换对称性（被积函数为三元函数）（B016）

问题

如果第一类曲线积分中的积分路径 $\Gamma$（一条空间曲线）关于变量 $x$ 和 $y$ 具有轮换对称性，则当被积函数为 $f(x, y, z)$ 时，第一类曲线积分 $\int_{L}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $\times$ $f(z, x, y)$ $\times$ $f(y, z, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

[B]. $\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $+$ $f(z, x, y)$ $]$ $\mathrm{d} s$

[C]. $\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $-$ $f(z, x, y)$ $-$ $f(y, z, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

[D]. $\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $+$ $f(z, x, y)$ $+$ $f(y, z, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

答案

$\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $+$ $f(z, x, y)$ $+$ $f(y, z, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

第一类曲线积分中的轮换对称性（被积函数为二元函数）（B016）

问题

如果第一类曲线积分中的积分路径 $L$（一条平面曲线）关于变量 $x$ 和 $y$ 具有轮换对称性，则当被积函数为 $f(x, y)$ 时，第一类曲线积分 $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{L}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\int_{L}$ $[$ $f(x, y)$ $-$ $f(y, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

[B]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{L}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\int_{L}$ $[$ $f(x, y)$ $+$ $f(y, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

[C]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{L}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\int_{L}$ $[$ $f(x, y)$ $\times$ $f(y, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

[D]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{L}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\cdot$ $\int_{L}$ $[$ $f(x, y)$ $+$ $f(y, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

答案

$\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{L}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\int_{L}$ $[$ $f(x, y)$ $+$ $f(y, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

积分路径关于 $x$ 轴对称时第一类曲线积分的化简（B016）

问题

已知积分路径 $L$ 关于 $x$ 轴对称, 则如何对第一类曲线积分 $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ 进行化简？

（其中，积分路径 $L_{1}$ 是积分路径 $L$ 在 $y$ 轴上方的部分。）

选项

[A]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 1, & f(x, -y)=-f(x, y), \\2 \int_{L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(x, -y)=f(x, y). \end{array}\right.$

[B]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(x, -y)=-f(x, y), \\2 \int_{L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(x, -y)=f(x, y). \end{array}\right.$

[C]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(x, -y)=-f(x, y), \\\int_{2 L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(x, -y)=f(x, y). \end{array}\right.$

[D]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(x, -y)=-f(x, y), \\\int_{L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(x, -y)=f(x, y). \end{array}\right.$

答案

$\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(x, -y)=-f(x, y), \\2 \int_{L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(x, -y)=f(x, y). \end{array}\right.$

$f(-x, y)$ $=$ $-$ $f(x, y)$ $\Rightarrow$ $f(x, y)$ 是关于 $x$ 的奇函数.
$f(-x, y)$ $=$ $f(x, y)$ $\Rightarrow$ $f(x, y)$ 是关于 $x$ 的偶函数.

积分路径关于 $y$ 轴对称时第一类曲线积分的化简（B016）

问题

已知积分路径 $L$ 关于 $y$ 轴对称, 则如何对第一类曲线积分 $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ 进行化简？

（其中，积分路径 $L_{1}$ 是积分路径 $L$ 在 $x$ 轴右侧的部分。）

选项

[A]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\\int_{L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(-x, y)=f(x, y). \end{array}\right.$

[B]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 1, & f(-x, y)=-f(x, y), \\2 \int_{L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(-x, y)=f(x, y). \end{array}\right.$

[C]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\2 \int_{L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(-x, y)=f(x, y). \end{array}\right.$

[D]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\\int_{2 L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(-x, y)=f(x, y). \end{array}\right.$

答案

$\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\2 \int_{L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(-x, y)=f(x, y). \end{array}\right.$

$f(-x, y)$ $=$ $-$ $f(x, y)$ $\Rightarrow$ $f(x, y)$ 是关于 $x$ 的奇函数.
$f(-x, y)$ $=$ $f(x, y)$ $\Rightarrow$ $f(x, y)$ 是关于 $x$ 的偶函数.

第一类曲线积分中被积函数为 $1$ 时的性质（B016）

问题

已知 $H$ 为积分路径 $L$ 这条曲线的弧长，那么，当被积函数为 $1$ 时，第一类曲线积分 $\int_{L}$ $1$ $\mathrm{d} s$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{L}$ $1$ $\mathrm{d} s$ $=$ $H^{\frac{2}{3}}$

[B]. $\int_{L}$ $1$ $\mathrm{d} s$ $=$ $0$

[C]. $\int_{L}$ $1$ $\mathrm{d} s$ $=$ $1$

[D]. $\int_{L}$ $1$ $\mathrm{d} s$ $=$ $H$

答案

$\int_{L}$ $1$ $\mathrm{d} s$ $=$ $H$