线性代数基础归档 - 第12页共20页

${(A^{⊤})}^{- 1}$ 等于什么？（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，

{(A^{⊤})}^{- 1}

=

?

选项

[A].

{(A^{⊤})}^{- 1}

=

{(A^{⊤})}^{⊤}

[B].

{(A^{⊤})}^{- 1}

=

{(A^{- 1})}^{- 1}

[C].

{(A^{⊤})}^{- 1}

=

{(A^{- 1})}^{⊤}

[D].

{(A^{⊤})}^{- 1}

=

{(A)}^{⊤}

答案

${(A^{⊤})}^{- 1}$ $=$ ${(A^{- 1})}^{⊤}$

若 $A$ , 则 $A^{T}$ 是否可逆（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，若矩阵

A

可逆，则矩阵

A

的转置矩阵

A^{T}

是否可逆？

选项

[A]. 是

[B]. 否

答案

是
若 $A$ 可逆，则 $A^{T}$ 也可逆

$(A B)^{- 1}$ 等于什么？（C010）

问题

已知，矩阵

A

和

B

均可逆，矩阵

A B

也可逆，则根据可逆矩阵的性质，

(A B)^{- 1}

=

?

选项

[A].

(A B)^{- 1}

=

A^{- 1}

B^{- 1}

[B].

(A B)^{- 1}

=

B^{- 1}

A^{- 1}

[C].

(A B)^{- 1}

=

(B A)^{- 1}

[D].

(A B)^{- 1}

=

-

B

A

答案

$(A B)^{- 1}$ $=$ $B^{- 1}$ $A^{- 1}$

若 $A$ , $B$ 可逆，则 $A B$ 是否可逆？（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，若矩阵

A

和

B

均可逆，则矩阵

A B

是否可逆？

选项

[A]. 否

[B]. 是

答案

是
若 $A$ , $B$ 可逆，则 $A B$ 也可逆

$A^{- 1}$ 与 $(k A)^{- 1}$ 的关系（C010）

问题

已知

k

为常数，且

k

\neq

0

, 则根据可逆矩阵的性质，

A^{- 1}

与

(k A)^{- 1}

之间有着怎样的关系？

选项

[A].

(k A)^{- 1}

=

A^{- 1}

[B].

(k A)^{- 1}

=

k

A^{- 1}

[C].

(k A)^{- 1}

=

\frac{1}{k}

A^{- 1}

[D].

(k A)^{- 1}

=

\frac{- 1}{k}

A^{- 1}

答案

$(k A)^{- 1}$ $=$ $\frac{1}{k}$ $A^{- 1}$

若 $A$ 可逆，则 $k A$ 是否可逆？（C010）

问题

已知

k

为常数且

k

\neq

0

, 则根据可逆矩阵的性质，若

A

可逆，则

k A

是否可逆？

选项

[A]. 是

[B]. 否

答案

是
若 $A$ 可逆，则 $k A$ 也可逆

$A^{- 1}$ 和 $A$ 的关系（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，

A^{- 1}

和

A

之间存在怎样的关系？

选项

[A].

{(A^{- 1})}^{- 1}

=

- A

[B].

A^{- 1}

=

A

[C].

{(A^{- 1})}^{- 1}

\neq

A

[D].

{(A^{- 1})}^{- 1}

=

A

答案

${(A^{- 1})}^{- 1}$ $=$ $A$

若 $A$ 可逆，则 $A^{- 1}$ 是否可逆？（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，若

A

可逆，则

A

的逆矩阵

A^{- 1}

是否可逆？

选项

[A]. 是

[B]. 否

答案

是
若 $A$ 可逆，则 $A$ 的逆矩阵 $A^{- 1}$ 也可逆

$n$ 阶方阵 $A$ 不可逆的充要条件： $A$ 的特征值（C010）

问题

已知，

A

为

n

阶方阵，则当

A

的特征值满足如下哪个条件时，可以判断矩阵

A

不可逆？

选项

[A].

A

的特征值中不含有数字

0

[B].

A

的特征值中含有数字

1

[C].

A

的特征值中含有数字

0

[D].

A

的特征值全为负数

答案

$n$ 阶矩阵 $A$ 不可逆 $\Leftrightarrow$ $A$ 的特征值中含有数字 $0$

$n$ 阶方阵 $A$ 不可逆的充要条件： $A$ 的向量组（C010）

问题

已知，

A

为

n

阶方阵，则当

A

的向量组满足如下哪个条件时，可以判断矩阵

A

不可逆？

选项

[A].

A

的列向量组线性无关，行向量线性相关

[B].

A

的列向量组线性相关，行向量线性无关

[C].

A

的列（行）向量组线性无关

[D].

A

的列（行）向量组线性相关

答案

$n$ 阶矩阵 $A$ 不可逆 $\Leftrightarrow$ $A$ 的列（行）向量组线性相关

$n$ 阶方阵 $A$ 不可逆的充要条件： $A x$ $=$ $0$ （C010）

问题

已知，

A

为

n

阶方阵，则当

A x

=

0

满足如下哪个条件时，可以判断矩阵

A

不可逆？

选项

[A].

A x

=

0

无解

[B].

A x

=

0

只有零解

[C].

A x

=

0

有零解

[D].

A x

=

0

有非零解

答案

$n$ 阶矩阵 $A$ 不可逆 $\Leftrightarrow$ $A x$ $=$ $0$ 有非零解

$n$ 阶方阵 $A$ 不可逆的充要条件： $r (A)$ （C010）

问题

已知，

A

为

n

阶方阵，则当

r (A)

满足如下哪个条件时，可以判断矩阵

A

不可逆？

选项

[A].

r (A)

⩽

n

[B].

r (A)

>

1

[C].

r (A)

>

n

[D].

r (A)

<

n

答案

$n$ 阶矩阵 $A$ 不可逆 $\Leftrightarrow$ $r (A)$ $<$ $n$

$n$ 阶方阵 $A$ 不可逆的充要条件： $| A |$ （C010）

问题

已知，

A

和

B

均为

n

阶方阵，则当

| A |

满足如下哪个条件时，可以判断矩阵

A

不可逆？

选项

[A].

| A |

\neq

1

[B].

| A |

=

1

[C].

| A |

\neq

0

[D].

| A |

=

0

答案

$n$ 阶矩阵 $A$ 不可逆 $\Leftrightarrow$ $| A |$ $=$ $0$

$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充要条件： $A$ 的特征值（C010）

问题

已知，

A

为

n

阶方阵，则当

A

的特征值满足如下哪个条件时，可以判断矩阵

A

可逆？

选项

[A].

A

的特征值不都为负数

[B].

A

的特征值都为正数

[C].

A

的特征值不都为

0

[D].

A

的特征值都不为

0

答案

$n$ 阶矩阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $A$ 的特征值都不为 $0$

$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充要条件： $A$ 的向量组（C010）

问题

已知，

A

为

n

方阵，则当

A

的列（行）向量组线性无关时，是否可以判断出矩阵

A

可逆？

选项

[A]. 否

[B]. 是

答案

是
$n$ 阶矩阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $A$ 的列（行）向量组线性无关