线性代数基础 – 第 10 页

问题

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经过（）次初等变换化为矩阵 $\boldsymbol{B}$, 则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 等价？

选项

[A]. 1 次

[B]. 有限次

[C]. 无数次

[D]. 至多 2 两次

答案

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经过有限次初等变换化为矩阵 $\boldsymbol{B}$, 则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 等价

问题

已知，矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 与 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$ 是等价矩阵，则以下对这种等价关系的符号表示，正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{B}$

[B]. $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{B}$

[C]. $\boldsymbol{A}$ $\otimes$ $\boldsymbol{B}$

[D]. $\boldsymbol{A}$ $\sim$ $\boldsymbol{B}$

答案

$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{cyan}{\cong}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$

$r(\boldsymbol{A})$ $<$ $n$ $-$ $1$ 时 $r(\boldsymbol{A^{*}})$ 的值是多少？（C012）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $n$ 阶方阵，且 $n$ $\geqslant$ $2$.
则当 $\textcolor{cyan}{r(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{n}$ $\textcolor{cyan}{-}$ $\textcolor{cyan}{1}$ 时，$\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A^{*}})}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$

选项

[A]. $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $1$

[B]. $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $n$ $-$ $1$

[C]. $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $0$

[D]. $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $n$

答案

$\textcolor{cyan}{r(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{n}$ $\textcolor{cyan}{-}$ $\textcolor{cyan}{1}$ $\Rightarrow$ $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A^{*}})}$ $=$ $\textcolor{red}{0}$

$r(\boldsymbol{A})$ $=$ $n$ $-$ $1$ 时 $r(\boldsymbol{A^{*}})$ 的值是多少？（C012）

问题

选项

[A]. $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $0$

[B]. $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $n$

[C]. $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $n$ $-$ $1$

[D]. $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $1$

答案

$r(\boldsymbol{A})$ $=$ $n$ 时 $r(\boldsymbol{A^{*}})$ 的值是多少？（C012）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $n$ 阶方阵，且 $n$ $\geqslant$ $2$.
则当 $\textcolor{cyan}{r(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{n}$ 时，$\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A^{*}})}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$

选项

[A]. $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $0$

[B]. $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $1$

[C]. $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $n$ $-$ $1$

[D]. $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $n$

答案

$\textcolor{cyan}{r(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{n}$ $\Rightarrow$ $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A^{*}})}$ $=$ $\textcolor{red}{n}$

指定条件下 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ 的取值范围（C012）

问题

已知，有 $m$ 行 $n$ 列的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $n$ 行 $s$ 列的矩阵 $\boldsymbol{B}$, 且 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}_{m \times n}}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}_{n \times s}}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{O}}$, 则以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{B})}$ 的取值范围的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $n$

[B]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ $\geqslant$ $n$

[C]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ $<$ $n$

[D]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $m$

答案

$\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{B})}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\textcolor{yellow}{n}$

$\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ 与 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ 和 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ 的关系（C012）

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵，则，根据矩阵秩的性质，以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})}$ 与 $\textcolor{cyan}{\mathrm{r}(\boldsymbol{B})}$ 和 $\textcolor{cyan}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A})}$ 关系的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ $=$ $|A|$ $\cdot$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[B]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$

[C]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ $\neq$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[D]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

答案

乘以一个初等矩阵相当于做了初等变换，而初等变换不改变矩阵的秩，因此，一定有：

$\mathrm{r}(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{BA}})$ $\textcolor{red}{=}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{B}})$

$\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ 与 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ 和 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ 的关系（C012）

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵，则，根据矩阵秩的性质，以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})}$ 与 $\textcolor{cyan}{\mathrm{r}(\boldsymbol{B})}$ 和 $\textcolor{cyan}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A})}$ 关系的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$

[B]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $\neq$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[C]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[D]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $=$ $|A|$ $\cdot$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

答案

乘以一个初等矩阵相当于做了初等变换，而初等变换不改变矩阵的秩，因此，一定有：

$\mathrm{r}(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{AB}})$ $\textcolor{red}{=}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{B}})$

$\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ 和 $\min \{ \mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B}) \}$ 的关系（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})}$ 和 $\textcolor{orange}{\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}}$ 的大小关系的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ $>$ $\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$

[B]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ $<$ $\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$

[C]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ $\geqslant$ $\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$

[D]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$

答案

$\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\textcolor{yellow}{\min} \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$

$\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ 的取值范围（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})}$ 的取值范围的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\max \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$ $<$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ $<$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[B]. $\max \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$ $\geqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ $\geqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[C]. $\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$ $\leqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[D]. $\max \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$ $\leqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

答案

$\textcolor{cyan}{\max} \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

$\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ 和 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ 的关系（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，$\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})}$ 与 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{B})}$ 之间存在怎样的关系？

选项

[A]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[B]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ $\geqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[C]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[D]. $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ $<$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

答案

$\mathrm{r} \textcolor{yellow}{(}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}+\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}\textcolor{yellow}{)}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\mathrm{r}\textcolor{yellow}{(}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}\textcolor{yellow}{)}$ $+$ $\mathrm{r}\textcolor{yellow}{(}\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}\textcolor{yellow}{)}$

将矩阵乘以其转置矩阵是否会改变原矩阵的秩？（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，$\textcolor{cyan}{\mathrm{r} (\boldsymbol{A})}$ 与 $\textcolor{orange}{\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})}$ 和 $\textcolor{orange}{\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})}$ 之间存在怎样的关系？

选项

[A]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\neq$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})$

[B]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\neq$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})$ $=$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})$

[C]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})$ $=$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})$

[D]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\leqslant$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})$

答案

$\mathrm{r} (\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}})$ $\textcolor{red}{=}$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} \boldsymbol{\textcolor{yellow}{A^{\top}}})$ $\textcolor{red}{=}$ $\mathrm{r} (\textcolor{yellow}{\boldsymbol{A^{\top}}}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}})$

将矩阵乘以一个常数是否会改变原矩阵的秩？（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，已知 $\textcolor{cyan}{k}$ 为非零常数，则 $\textcolor{orange}{\mathrm{r} (\boldsymbol{A})}$ 与 $\textcolor{orange}{\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})}$ 之间是什么关系？

选项

[A]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\neq$ $\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})$

[B]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})$

[C]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\leqslant$ $\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})$

[D]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})$

答案

$\mathrm{\textcolor{yellow}{r}} (\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}})$ $=$ $\mathrm{\textcolor{yellow}{r}} (\textcolor{cyan}{k} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}})$

转置运算是否会改变原矩阵的秩？（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，对矩阵做转置运算是否会改变矩阵的秩？

选项

[A]. 会

[B]. 不会

[C]. 可能会

答案

不会

$\mathrm{\textcolor{yellow}{r}} (\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}})$ $=$ $\mathrm{\textcolor{yellow}{r}} (\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}^{\textcolor{cyan}{\top}}})$

$r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)$ 的取值范围（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，以下有关 $\textcolor{orange}{r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)}$ 的取值范围的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $0$ $<$ $r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)$ $<$ $\min \{m, n\}$

[B]. $1$ $\leqslant$ $r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)$ $\leqslant$ $\min \{m, n\}$

[C]. $0$ $\leqslant$ $r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)$ $\leqslant$ $\max \{m, n\}$

[D]. $0$ $\leqslant$ $r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)$ $\leqslant$ $\min \{m, n\}$

答案

$\textcolor{cyan}{0}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\textcolor{orange}{r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\textcolor{cyan}{\min \{m, n\}}$