标签： 线性代数基础

$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 5\end{array}\right|$

$r(\mathit{A})$ $=$ $r(\mathit{B})$

等 价 矩阵 一 定 是 同 型 矩阵

行 数 和 列 数 都 对 应 相 等 的矩阵就是 同 型 矩 阵

$\mathit{P}$ 和 $\mathit{Q}$ 均 可 逆

如果矩阵 $\mathit{A}$ 经过 有 限 次 初 等 变 换 可以变成矩阵 $\mathit{B}$, 则称矩阵 $\mathit{A}$ 与 $\mathit{B}$ 等 价

${\mathit{E}}_{ij}^{-1}(k)$ $=$ ${\left[\begin{array}{ccc}1& k& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}^{-1}$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}1& -k& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $=$ ${\mathit{E}}_{ij}(-k)$

${\mathit{E}}_i^{-1}(k)$ $=$ ${\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& k& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}^{-1}$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{k}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $=$ ${\mathit{E}}_i\left(\frac{1}{k}\right)$

${\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}^{-1}$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$
${\mathit{E}}_{ij}^{-1}$ $=$ ${\mathit{E}}_{ij}$

初等矩阵的 逆 矩 阵 还 是 初等矩阵

初等矩阵 均 可 逆

对矩阵 ${\mathit{A}}_{m\times n}$ 实施一次初等 列 变换，就相当于在 $\mathit{A}$ 的 右 边 乘以相应的 $n$ 阶初等矩阵

对矩阵 ${\mathit{A}}_{m\times n}$ 实施一次初等 行 变换，就相当于在 $\mathit{A}$ 的 左 边 乘以相应的 $m$ 阶初等矩阵

单位矩阵 $\mathit{E}$ 作变换 $r_j$ $+$ $k{r}_i$（或 $c_i$ $+$ $k{c}_j$），得初等矩阵 ${\mathit{E}}_{ij}(k)$

单位矩阵 $\mathit{E}$ 作变换 $r_i$ $\times$ $k$（或 $c_i$ $\times$ $k$），得初等矩阵 ${\mathit{E}}_i(k)$