高等数学基础归档 - 第50页共56页

函数极限的重要性质之极限的保号性（01-B001）

问题

若

lim_{x \to x_{0}}

f (x)

=

A

>

0

, 则一定存在

ξ

>

0

, 使得当

0

<

| x - x_{0} |

<

ξ

时，下列哪项一定成立？

选项

[A].

f (x)

<

0

[B].

f (x)

⩾

0

[C].

f (x)

>

0

[D].

f (x)

⩽

0

答案

$f (x)$ $>$ $0$

同理，如果 $lim_{x \to x_{0}}$ $f (x)$ $=$ $A$ $<$ $0$ , 则 $f (x)$ $<$ $0$ .

函数极限的重要性质之极限的有界性或局部有界性（02-B001）

问题

若

lim_{x \to \infty}

f (x)

=

A

存在，则一定存在

X

>

0

M

>

0

, 使得当

| x |

>

X

时，下列哪项一定成立？

选项

[A].

f (x)

<

0

[B].

f (x)

=

M

[C].

f (x)

>

M

[D].

f (x)

<

M

答案

$f (x)$ $<$ $M$

函数极限的重要性质之极限的有界性或局部有界性（01-B001）

问题

若

lim_{x \to x_{0}}

f (x)

=

A

存在，则一定存在

ξ

>

0

M

>

0

，使得当

0

<

| x - x_{0} |

<

ξ

时，下列哪项一定成立？

选项

[A].

| f (x) |

<

M

[B].

| f (x) |

\neq

M

[C].

| f (x) |

=

M

[D].

| f (x) |

>

M

答案

$| f (x) |$ $<$ $M$

数列极限的重要性质之极限的有界性或局部有界性（B001）

问题

若当

n

\to

\infty

时，有

x_{n}

\to

A

, 则一定存在

M

>

0

, 使得对于一切

n

, 下列哪项一定成立？

选项

[A].

| x_{n} |

⩾

M

[B].

x_{n}

⩽

M

[C].

| x_{n} |

⩽

1

[D].

| x_{n} |

⩽

M

答案

$| x_{n} |$ $⩽$ $M$

函数和数列极限的重要性质之极限的唯一性（B001）

问题

以下关于【函数和数列极限唯一性】的表述中，正确的是哪个？

选项

[A]. 若

lim_{x \to ◻}

f (x)

=

A

lim_{x \to ◻}

f (x)

=

B

, 则

A

\neq

B

[B]. 若

lim_{x \to ◻}

f (x)

=

A

lim_{x \to ◻}

f (x)

=

B

, 则

A

=

B

[C]. 若

lim_{x \to ◻}

f (x)

=

A

lim_{x \to ◻}

f (x)

=

C

, 则

A

=

B

[D]. 若

lim_{x \to ◻}

f (x)

=

A

lim_{x \to ◻}

f (x)

=

B

, 则

B

=

B

答案

若 $lim_{x \to ◻}$ $f (x)$ $=$ $A$ , $lim_{x \to ◻}$ $f (x)$ $=$ $B$ , 则 $A$ $=$ $B$ .

Tips: 极限若存在，必唯一.

变量 $x$ 趋于无穷大时的重要极限（B001）

问题

当

x \to \infty

时，

(1 + \frac{1}{x})^{x}

的极限是多少？

选项

[A].

lim_{x \to 0}

(1 + \frac{1}{x})^{x}

=

e

[B].

lim_{x \to \infty}

(1 + \frac{1}{x})^{x}

=

0

[C].

lim_{x \to \infty}

(1 + \frac{1}{x})^{x}

=

1

[D].

lim_{x \to \infty}

(1 + \frac{1}{x})^{x}

=

e

答案

$lim_{x \to \infty}$ $(1 + \frac{1}{x})^{x}$ $=$ $e$

变量 $x$ 趋于零时的重要极限（02-B001）

问题

当

x \to 0

时，

(1 + x)^{\frac{1}{x}}

的极限是多少？

选项

[A].

lim_{x \to \infty}

(1 + x)^{\frac{1}{x}}

=

e

[B].

lim_{x \to 0}

(1 + x)^{\frac{1}{x}}

=

0

[C].

lim_{x \to 0}

(1 + x)^{\frac{1}{x}}

=

1

[D].

lim_{x \to 0}

(1 + x)^{\frac{1}{x}}

=

e

答案

$lim_{x \to 0}$ $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $e$

变量 $x$ 趋于零时的重要极限（01-B001）

问题

当

x \to 0

时，

\frac{\sin x}{x}

的极限是多少？

选项

[A].

lim_{x \to 0}

\frac{\sin x}{x}

=

\infty

[B].

lim_{x \to 0}

\frac{\sin x}{x}

=

- 1

[C].

lim_{x \to 0}

\frac{\sin x}{x}

=

0

[D].

lim_{x \to 0}

\frac{\sin x}{x}

=

1

答案

$lim_{x \to 0}$ $\frac{\sin x}{x}$ $=$ $1$

数列极限存在的单调有界准则（B001）

问题

下面关于【数列极限存在的单调有界准则】中，正确的是哪个？

选项

[A]. 单调有界数列不一定存在极限

[B]. 有界数列必存在极限

[C]. 单调数列必存在极限

[D]. 单调有界数列必存在极限

答案

单调有界数列必存在极限

函数极限存在的夹逼准则（B001）

问题

根据【夹逼准则】，若要使函数极限

lim_{x \to ◻}

f (x)

=

A

存在，则需要满足下面哪个条件？

选项

[A].

g (x)

⩽

f (x)

⩽

h (x)

且

lim_{x \to ◻}

g (x)

=

lim_{x \to ◻}

h (x)

=

B

[B].

g (x)

⩽

f (x)

⩾

h (x)

且

lim_{x \to ◻}

g (x)

=

lim_{x \to ◻}

h (x)

=

A

[C].

g (x)

⩽

f (x)

⩽

h (x)

且

lim_{x \to ◻}

g (x)

=

lim_{x \to ◻}

h (x)

=

A

[D].

g (x)

⩽

f (x)

<

h (x)

且

lim_{x \to ◻}

g (x)

=

lim_{x \to ◻}

h (x)

=

A

答案

$g (x)$ $⩽$ $f (x)$ $⩽$ $h (x)$ 且 $lim_{x \to ◻}$ $g (x)$ $=$ $lim_{x \to ◻}$ $h (x)$ $=$ $A$

数列极限存在的夹逼准则（B001）

问题

根据【夹逼准则】，若要使数列极限

lim_{x \to \infty}

x_{n}

=

a

存在，则需要满足下面哪个条件？

选项

[A].

y_{n}

⩽

x_{n}

⩽

z_{n}

且

lim_{x \to \infty}

y_{n}

=

a

lim_{x \to \infty}

z_{n}

=

b

[B].

y_{n}

⩽

x_{n}

⩽

z_{n}

且

lim_{x \to \infty}

y_{n}

=

lim_{x \to \infty}

a_{n}

=

a

[C].

y_{n}

⩽

x_{n}

⩾

z_{n}

且

lim_{x \to \infty}

y_{n}

=

lim_{x \to \infty}

z_{n}

=

a

[D].

y_{n}

⩽

x_{n}

⩽

z_{n}

且

lim_{x \to \infty}

y_{n}

=

lim_{x \to \infty}

z_{n}

=

a

答案

$y_{n}$ $⩽$ $x_{n}$ $⩽$ $z_{n}$ 且 $lim_{x \to \infty}$ $y_{n}$ $=$ $lim_{x \to \infty}$ $z_{n}$ $=$ $a$

函数极限存在的充分必要条件（02-B001）

问题

下面【函数极限存在的充分必要条件】中，正确的是哪个？

选项

[A].

lim_{x \to \infty}

f (x)

=

A

\Leftrightarrow

lim_{x \to - \infty}

f (x)

=

A

[B].

lim_{x \to \infty}

f (x)

=

A

\Leftrightarrow

lim_{x \to + \infty}

f (x)

=

A

[C].

lim_{x \to \infty}

f (x)

=

A

\Leftrightarrow

lim_{x \to + \infty}

f (x)

=

lim_{x \to - \infty}

f (x)

=

A

[D].

lim_{x \to \infty}

f (x)

=

A

\Leftrightarrow

lim_{x \to + \infty}

f (x)

=

lim_{x \to - \infty}

f (x)

=

B

答案

$lim_{x \to \infty}$ $f (x)$ $=$ $A$ $\Leftrightarrow$ $lim_{x \to + \infty}$ $f (x)$ $=$ $lim_{x \to - \infty}$ $f (x)$ $=$ $A$

函数极限存在的充分必要条件（01-B001）

问题

下面【函数极限存在的充分必要条件】中，正确的是哪个？

选项

[A].

lim_{x \to x_{0}}

f (x)

=

A

\Leftrightarrow

lim_{x \to x_{0}^{-}}

f (x)

=

A

[B].

lim_{x \to x_{0}}

f (x)

=

A

\Leftrightarrow

lim_{x \to x_{0}^{+}}

f (x)

=

A

[C].

lim_{x \to x_{0}}

f (x)

=

A

\Leftrightarrow

lim_{x \to x_{0}^{+}}

f (x)

=

lim_{x \to x_{0}^{-}}

f (x)

=

A

[D].

lim_{x \to x_{0}}

f (x)

=

A

\Leftrightarrow

lim_{x \to x_{0}^{+}}

f (x)

=

lim_{x \to x_{0}^{-}}

f (x)

=

B

答案

$lim_{x \to x_{0}}$ $f (x)$ $=$ $A$ $\Leftrightarrow$ $lim_{x \to x_{0}^{+}}$ $f (x)$ $=$ $lim_{x \to x_{0}^{-}}$ $f (x)$ $=$ $A$

数列极限存在的充分必要条件（03-B001）

问题

下面【数列极限存在的充分必要条件】中，正确的是哪个？

选项

[A].

lim_{n \to \infty}

x_{n}

=

A

\Leftrightarrow

lim_{n \to \infty}

x_{3 n}

=

lim_{n \to \infty}

x_{3 n + 1}

=

lim_{n \to \infty}

x_{3 n + 2}

=

A

[B].

lim_{n \to \infty}

x_{n}

=

A

\Leftrightarrow

lim_{n \to \infty}

x_{3 n}

=

lim_{n \to \infty}

x_{3 n + 2}

=

A

[C].

lim_{n \to \infty}

x_{n}

=

A

\Leftrightarrow

lim_{n \to \infty}

x_{3 n}

=

lim_{n \to \infty}

x_{3 n + 1}

=

A

[D].

lim_{n \to \infty}

x_{n}

=

A

\Leftrightarrow

lim_{n \to \infty}

x_{3 n}

=

lim_{n \to \infty}

x_{3 n + 1}

=

lim_{n \to \infty}

x_{3 n + 2}

=

B

答案

$lim_{n \to \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\Leftrightarrow$ $lim_{n \to \infty}$ $x_{3 n}$ $=$ $lim_{n \to \infty}$ $x_{3 n + 1}$ $=$ $lim_{n \to \infty}$ $x_{3 n + 2}$ $=$ $A$

Tips >>
[1]. 只有当一个数列的所有子列的极限都存在且相等的时候，这个数列的极限才存在；
[2]. 我们可以用 $3 n$ , $3 n + 1$ 和 $3 n + 2$ 完整的表示一个数列的所有子列.

数列极限存在的充分必要条件（02-B001）

问题

下面【数列极限存在的充分必要条件】中，正确的是哪个？

选项

[A].

lim_{n \to \infty}

x_{n}

=

A

\Leftrightarrow

lim_{n \to \infty}

x_{2 n + 1}

=

A

[B].

lim_{n \to \infty}

x_{n}

=

A

\Leftrightarrow

lim_{n \to \infty}

x_{2 n}

=

lim_{n \to \infty}

x_{2 n + 1}

=

B

[C].

lim_{n \to \infty}

x_{n}

=

A

\Leftrightarrow

lim_{n \to \infty}

x_{2 n}

=

A

[D].

lim_{n \to \infty}

x_{n}

=

A

\Leftrightarrow

lim_{n \to \infty}

x_{2 n}

=

lim_{n \to \infty}

x_{2 n + 1}

=

A

答案

$lim_{n \to \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\Leftrightarrow$ $lim_{n \to \infty}$ $x_{2 n}$ $=$ $lim_{n \to \infty}$ $x_{2 n + 1}$ $=$ $A$

Tips >>
[1]. 只有当一个数列的所有子列的极限都存在且相等的时候，这个数列的极限才存在；
[2]. 我们可以用 $2 n$ 和 $2 n + 1$ 完整的表示一个数列的所有子列.