考研数学二 – 第 3 页

2022考研数二第19题解析：二重积分的计算

一、题目

已知平面区域 $D = \left\{\left(x, y\right) \mid y – 2 \leqslant x \leqslant \sqrt{4 – y^{2}}, \ 0 \leqslant y \leqslant 2\right\}$, 计算 $I = \iint_{D} \frac{\left(x – y\right)^{2}}{x^{2} + y^{2}} \mathrm{~d}x \mathrm{d}y$.

继续阅读

2022考研数二第18题解析：一阶线性微分方程、曲线的弧长

>> 本文底部有点赞按钮，觉得有帮助，可以点个赞嘛~

一、题目

设函数 $y \left( x \right)$ 是微分方程 $2 x y^{\prime} – 4 y = 2 \ln x – 1$, 满足条件 $y\left( 1 \right) = \frac{1}{4}$ 的解，求曲线 $y = y\left(x\right) \left( 1 \leqslant x \leqslant e \right)$ 的弧长.

继续阅读

2022考研数二第17题解析：一点处导数的定义

一、题目

已知函数 $f\left(x\right)$ 在 $x = 1$ 处可导，且 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f\left(\mathrm{e}^{x^{2}}\right) – 3 f\left(1 + \sin^{2} x\right)}{x^{2}} = 2$，求 $f^{\prime}\left(1\right)$.

继续阅读

2022考研数二第16题解析：矩阵的迹、矩阵的初等变换、矩阵的乘法运算

一、题目

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $3$ 阶矩阵，交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 $2$ 行和第 $3$ 行，再将第 $2$ 列的 $-1$ 倍加到第一列，得到矩阵 $\begin{bmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的迹 $\operatorname{tr} \left(\boldsymbol{A}^{-1}\right) = \underline{\qquad\qquad}$.

继续阅读

2022考研数二第15题解析：极坐标系定积分的计算

一、题目

已知曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r = \sin 3 \theta \left( 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{3} \right)$, 则 $L$ 围成有界区域的面积为 $\underline{\qquad\qquad}$.

继续阅读

2022考研数二第14题解析：三阶常系数线性齐次微分方程的求解

一、题目

$y^{\prime\prime\prime} – 2 y^{\prime\prime} + 5 y^{\prime} = 0$, 通解 $y\left(x\right) = \underline{\qquad\qquad}$.

继续阅读

常用反三角函数的取值对照表

	$-1$	$\frac{- \sqrt{3}}{2}$	$\frac{- \sqrt{2}}{2}$	$\frac{-1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\arcsin$	$\frac{- \pi}{2}$	$\frac{- \pi}{3}$	$\frac{- \pi}{4}$	$\frac{- \pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\arccos$	$\pi$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$	$0$

	$-\sqrt{3}$	$-1$	$\frac{-1}{\sqrt{3}}$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$
$\arctan$	$\frac{- \pi}{3}$	$\frac{- \pi}{4}$	$\frac{- \pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$
$\operatorname{arccot}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$

上面四个反三角函数的取值范围为：

$$
\begin{aligned}
\arcsin x & \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \\
\arccos x & \in \left[ 0, \pi \right] \\
\arctan x & \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \\
\operatorname{arccot} x & \in \left( 0, \pi \right)
\end{aligned}
$$

2022考研数二第13题解析：定积分的计算

一、题目

$\int_{0}^{1} \frac{2 x + 3}{x^{2} – x + 1} \mathrm{~d} x = \underline{\qquad \qquad}$.

继续阅读

2022考研数二第12题解析：隐函数求导

一、题目

已知函数 $y = y \left(x\right)$ 由方程 $x^{2} + x y + y^{3} = 3$ 确定，则 $y^{\prime\prime}\left(1\right) = \underline{\qquad\qquad}$.

继续阅读

2022考研数二第11题解析：极限的计算、三角函数、常用的等价无穷小

一、题目

$\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1 + \mathrm{e}^{x}}{2}\right)^{\cot x} = \underline{\qquad\qquad}$.

继续阅读

2022考研数二第10题解析：向量组等价、初等变换、矩阵的秩

一、题目

设 $\boldsymbol{\alpha}_{1} = \left( \lambda, 1, 1 \right)^{\top}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2} = \left( 1, \lambda, 1 \right)^{\top}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3} = \left( 1, 1, \lambda \right)^{\top}$, $\boldsymbol{\alpha}_{4} = \left( 1, \lambda, \lambda^{2} \right)^{\top}$, 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 等价，则 $\lambda$ 的取值范围是 $\left( \quad \right)$

»A« $\left\{0, 1\right\}$

»B« $\left\{\lambda \ \middle| \ \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq -2\right\}$

»C« $\left\{\lambda \ \middle| \ \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq -1, \lambda \neq -2\right\}$

»D« $\left\{\lambda \ \middle| \ \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq -1\right\}$

继续阅读

等价向量组及其性质

一、什么是等价向量组

在线性代数里，两个向量组等价，本质上是说，这两个向量组能互相线性表示——当然，这两个向量组必须要么都是行向量，要么都是列向量.

继续阅读

峰图 | 基于作用力分析的正态分布概率形态形成机制猜想

一、前言

在本文中，「荒原之梦」将结合实际的概率事件，通过形象化的作用力分析的方法，尝试解释正态分布概率形态的形成机制，并基于此，对正态分布型概率事件内部对象的活动性质以及不同正态分布型概率事件之间可能的演变机制给出一个猜想。

继续阅读

对于 0 而言，正负都一样，左右不一样

一、前言

下面这些量相等吗：

$$
0, \ -0, \ +0, \ 0^{-}, \ 0^{+}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对这一问题给出讲解.

继续阅读

2022考研数二第09题解析：线性方程组、范德蒙行列式

一、题目

设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \end{pmatrix}$，$\boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$，则线性方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 解的情况为 $\left( \quad \right)$

»A« 无解

»B« 有解

»C« 有无穷多解或无解

»D« 有唯一解或无解

二、解析

本题中的方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 是一个非齐次线性方程组，对于非齐次线性方程组解的判断，需要用到该方程组 $n$ 阶系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right)$, 以及该方程组增广矩阵（或称“扩展矩阵”）的秩 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{b} \right)$:

当 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) = \mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{b} \right) = n$ 的时候，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 有唯一的解；
当 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) = \mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{b} \right) < n$ 的时候，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 有无穷多解；
当 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) < \mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{b} \right)$ 的时候，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 没有解.

于是——

解法 1：从系数矩阵入手

观察可知，本题中的非线性方程组系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 其实对应于一个范德蒙行列式:

$$
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \end{pmatrix}^{\top} = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a & b \\
1 & a^{2} & b^{2}
\end{pmatrix}
$$

又因为，矩阵的转置操作不会改变行列式的值，即：

$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}^{\top}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a & b \\
1 & a^{2} & b^{2}
\end{vmatrix}
$$

因此，由范德蒙行列式的计算公式，直接可得：

$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a & b \\
1 & a^{2} & b^{2}
\end{vmatrix} \\ \\
& = \left(a – 1\right) \cdot \left(b – 1\right) \cdot \left(b – a\right)
\end{aligned}
$$

又因为题目所给的方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 的增广矩阵为：

$$
\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right) = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} & 2 \\ 1 & b & b^{2} & 4
\end{pmatrix}
$$

所以：

当 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} \neq 0$ 的时候，有：

$$
\begin{aligned}
& \ \left(a – 1\right) \cdot \left(b – 1\right) \cdot \left(b – a\right) \neq 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{cases}
\begin{rcases}
a \neq 1 \\
b \neq 1
\end{rcases} \leadsto \begin{cases}
\textcolor{lightgreen}{ a \neq a^{2} } \\
\textcolor{lightgreen}{ b \neq b^{2} }
\end{cases} \\
a \neq b \leadsto \textcolor{lightgreen}{ a^{2} \neq b^{2} }
\end{cases}
\end{aligned}
$$

所以：

$$
r\left(\boldsymbol{A}\right) = r\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right) = 3
$$

因此，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 此时有唯一解.

当 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} = 0$ 的时候，有：

$$
\left(a – 1\right) \cdot \left(b – 1\right) \cdot \left(b – a\right) = 0
$$

也就是：

$a = 1$ 或者 $b = 1$ 或者 $a = b$

换句话说，就是：

$a = 1$ 或者 $b = 1$ 或者 $a=b=1$

以 $a=b=1$ 为例可知：

$$
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix} = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} = 1
$$

$$
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{b} \right) = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1 & 4
\end{pmatrix} = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 4
\end{pmatrix} \neq 1
$$

所以：

$$
\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) \neq \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)
$$

因此，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 此时无解.

综上可知，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 有唯一解，或者无解，»D« 选项正确 .

解法 2：从增广矩阵入手

直接对方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 的增广矩阵 $\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)$ 作初等行变换：

$$
\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)= \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & a & a^{2} & 2 \\
1 & b & b^{2} & 4
\end{pmatrix} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & a-1 & a^{2}-1 & 1 \\
0 & b-1 & b^{2}-1 & 3
\end{pmatrix}
$$

于是，分情况讨论可知：

当 $a=1$, $b=1$ 时，$\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right)=1$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)=2$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) \neq \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)$, 该方程组无解；
当 $a=1$, $b \neq 1$ 时，$\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right)=2$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)=3$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) < \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)$ 该方程组无解；
当 $a\neq 1$, $b=1$ 时，$\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right)=2$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)=3$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) < \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)$ 该方程组无解；
当 $a=b \neq 1$ 时，$\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right)=2$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)=3$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) < \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)$ 该方程组无解；
当 $a \neq 1$, $b \neq 1$, 且 $a \neq b$ 时，$\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) = \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)=3$, 该方程组有唯一解.

综上所述，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解的情况只有两种可能，即：有唯一解或无解，所以，»D« 选项正确 .