月度归档： 2023 年 11 月

一、题目

已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内都有定义，且 $x=x_1$ 是 $f(x)$ 的唯一间断点, $x=$ $x_2$ 是 $g(x)$ 的唯一间断点，则：

(A) 当 $x_1=x_2$ 时, $f(x)+g(x)$ 必有唯一的间断点 $x=x_1$

(B) 当 $x_1\ne x_2$ 时, $f(x)+g(x)$ 必有两个间断点 $x=x_1$ 与 $x=x_2$

(C) 当 $x_1=x_2$ 时, $f(x)g(x)$ 必有唯一的间断点 $x=x_1$

(D) 当 $x_1\ne x_2$ 时, $f(x)g(x)$ 必有两个间断点 $x=x_1$ 与 $x=x_2$

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继续阅读“乘法对间断点的「弥合」作用强于加法”

一、题目

已知 $f(x)=x\tan \left(\frac{\pi }{6}{\mathrm{e}}^{\sin x}\right),x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$, 则 $f(x)$ 是

(A) 偶函数

(B) 无界函数

(C) 周期函数

(D) 单调函数

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继续阅读“这个复杂式子的求导你会吗？”

一、题目

以下运算和结论都正确的有哪些？

(1) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x^2}}}{x}$ $=$ $\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x^2}}\left(\frac{2}{x^3}\right)}{1}=2\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x^2}}}{x^3}$ $=$ $\frac{4}{3}\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x^2}}}{x^5}=\cdots =\mathrm{\infty }$

(2) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ $=$ $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}$ $=$ $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}=\cdots$, 由于分子与分母一直反复，所以该极限不存在。

(3) 由于 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ $=$ $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\frac{\sin x}{x}}{1+\frac{\cos x}{x}}$ $=$ $\frac{1+0}{1+0}=1$, 另一方面 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ 为 “$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$” 型，由洛必达法则, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ $=$ $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\cos x}{1-\sin x}$, 所以 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\cos x}{1-\sin x}=1$

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继续阅读“洛必达法则只能用于求极限，不能用于传递极限值”

一、题目

以下极限等式（若某端极限存在，则另一端极限也存在且相等）成立的是：

(A) 设 $\underset{x\to a}{lim}h(x)=A$, 则 $\underset{x\to a}{lim}\frac{f_1(x)+f_2(x)}{h(x)+g(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f_1(x)+f_2(x)}{A+g(x)}$

(B) 设 $\underset{x\to a}{lim}h(x)=0$, 则 $\underset{x\to a}{lim}(h(x)\cdot \frac{f(x)}{g(x)})=0$

(C) 设 $\underset{x\to a}{lim}h(x)=A\ne 0$, 则 $\underset{x\to a}{lim}\frac{f_1(x)+f_2(x)}{h(x)g(x)}=\frac{1}{A}\underset{x\to a}{lim}\frac{f_1(x)+f_2(x)}{g(x)}$

(D) $\underset{x\to 0}{lim}(\frac{\sin x}{x^2}+\frac{f(x)}{x})=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x^2}+\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x}$

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继续阅读“乘法中的极限可以代入，加法中的极限不能代入”

一、题目

设 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2⩽x\}$, 则 $I={\iint }_D(x+y^2)\mathrm{d}\sigma =?$

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继续阅读“当二重积分的积分区域中含有 x 的平方和 y 的平方时就可以考虑使用极坐标系了”

一、题目

不恒为零的可导函数 $f(x)$, 对任意的 $x,y$ 恒有 $f(x+y)=f(x)f(y)$, 则 $f(x)=?$

难度评级：

继续阅读“这里的 “y” 真的只是 “y””

一、题目

已知，函数 $f(t)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上连续, 且满足方程 $f(t)=t^2+{\iint }_{x^2+y^2⩽t^2}f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$, 则 $f(t)=?$

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继续阅读“有些解微分方程的题目需要先「求导」”

一、题目

把 $x^2$ 看成 $y$ 的函数,求解微分方程 $(y^4-3x^2)\mathrm{d}y+xy\mathrm{d}x=0$, 则该方程的通解是（ ）

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继续阅读“这个「反直觉」的微分方程你会解吗？”

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 满足 $x{f}^{\prime }(x)-2f(x)=-4x$, 且由曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=1$ 以及 $x$ 轴可围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则 $f(x)=?$

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继续阅读“一阶线性微分方程和极值结合的题目”

一、题目

方程 $(y+\sqrt{x^2+y^2})\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y=0$ 满足条件 $y(1)=0$ 的特解为

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继续阅读“看上去像可分离变量的微分方程但“分不开”的时候，很可能就是齐次微分方程”

一、题目

已知 $y_1=\cos 2x-\frac{1}{4}x\cos 2x$, $y_2=\sin 2x-\frac{1}{4}x\cos 2x$ 是某二阶线性常系数非齐次微分方程的两个解, $y_3=\cos 2x$ 是它所对应的齐次方程的一个解，则该微分方程是？

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继续阅读“如何根据微分方程的特解找出通解，进而还原这个微分方程？”

一、题目

$x{y}^{\prime \prime }=y^{\prime }+x\sin \frac{y^{\prime }}{x}$ 的通解是（ ）

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继续阅读“遇到不能用公式的二阶微分方程怎么办：先尝试降为一阶微分方程”

一、题目

已知 $a>0$, 则：

$$I={\int }_0^a{x}^3\sqrt{\frac{x}{a-x}}\mathrm{d}x=?$$

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继续阅读“被积函数中的根式中没有平方项不能用三角代换怎么办：整体代换”

一、题目

$$I={\int }_1^{+\mathrm{\infty }}[\ln (1+\frac{1}{x})-\frac{1}{1+x}]\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“在计算无穷限积分的时候，要注意应用极限的思想”

一、题目

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\arctan x}{{(1+x^2)}^{5/2}}\mathrm{d}x=?$$

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继续阅读“对于含有反三角函数的积分可以用对应的三角函数代换求解”