向量可由向量组线性表示的充要条件:系数的存在性(C019)

问题

如果 常数 $\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$, 使得 $\textcolor{cyan}{k_{1}} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{2}} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{m}} \boldsymbol{\alpha}_{m}$ $=$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 成立,是否可以说明向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线

选项

[A].   不能

[B].   不确定

[C].   


上一题 - 荒原之梦   答 案   下一题 - 荒原之梦

向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 向量组 $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{yellow}{\cdots}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
常数 $\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$, 使得 $\textcolor{cyan}{k_{1}} \textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{2}} \textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{m}} \textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ $=$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$

线性相关的向量组的秩(C019)

问题

若向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线 ,则以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}}\left(\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}, \textcolor{cyan}{\cdots}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}} \right)$ 的说法中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\leqslant$ $m$

[B].   $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $=$ $m$

[C].   $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $<$ $m$

[D].   $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\geqslant$ $m$


上一题 - 荒原之梦   答 案   下一题 - 荒原之梦

向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线
$\textcolor{yellow}{\Leftrightarrow}$
$\textcolor{orange}{\mathrm{r}}\left(\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}, \textcolor{cyan}{\cdots}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}} \right)$ $<$ $\textcolor{red}{m}$

线性无关的向量组的秩(C019)

问题

若向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线 ,则以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}}\left(\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}, \textcolor{cyan}{\cdots}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}} \right)$ 的说法中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\geqslant$ $m$

[B].   $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\leqslant$ $m$

[C].   $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $<$ $m$

[D].   $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $=$ $m$


上一题 - 荒原之梦   答 案   下一题 - 荒原之梦

向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线
$\textcolor{yellow}{\Leftrightarrow}$
$\textcolor{orange}{\mathrm{r}}\left(\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}, \textcolor{cyan}{\cdots}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}} \right)$ $=$ $\textcolor{red}{m}$

向量组秩的定义(C019)

问题

根据定义,向量组的 ( ) 被称为向量组的

选项

[A].   向量组中向量的个数

[B].   极大无关组中所含向量的维度

[C].   极大无关组中所含向量的个数

[D].   向量组中非零向量的个数


上一题 - 荒原之梦   答 案   下一题 - 荒原之梦

向量组的 所含 称为向量组的

向量组“高维相关”的引申结论(C018)

问题

已知,向量组 $\beta_{1}$, $\beta_{2}$, $\cdots$, $\beta_{m}$ 是维度相同的列向量。如果 $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{1} \\ \boldsymbol{\beta}_{1} \end{array}\right)}$, $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{2} \\ \boldsymbol{\beta}_{2} \end{array}\right)}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{m} \\ \boldsymbol{\beta}_{m} \end{array}\right)}$ 线 ,则对应的低维向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{m}}}$ 如何?

选项

[A].   无法判断

[B].   线性无关

[C].   线性相关


上一题 - 荒原之梦   答 案   下一题 - 荒原之梦

,则

向量组“低维无关”的引申结论(C018)

问题

已知,向量组 $\beta_{1}$, $\beta_{2}$, $\cdots$, $\beta_{m}$ 是维度相同的列向量。如果 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{m}}}$ 线 ,则对应的高维向量组 $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{1} \\ \boldsymbol{\beta}_{1} \end{array}\right)}$, $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{2} \\ \boldsymbol{\beta}_{2} \end{array}\right)}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{m} \\ \boldsymbol{\beta}_{m} \end{array}\right)}$ 如何?

选项

[A].   线性相关

[B].   线性无关

[C].   无法判断


上一题 - 荒原之梦   答 案   下一题 - 荒原之梦

,则

向量组“部分相关”的引申结论(C018)

问题

如果一个向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 中有 向量线性 ,则 向量组的线性 如何?

选项

[A].   无法判断

[B].   整体无关

[C].   整体相关


上一题 - 荒原之梦   答 案   下一题 - 荒原之梦

,则

向量组“整体无关”的引申结论(C018)

问题

如果一个向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线性 ,则该向量组中 向量组的线性 如何?

选项

[A].   部分相关

[B].   部分无关

[C].   无法判断


上一题 - 荒原之梦   答 案   下一题 - 荒原之梦

,则

$n$ 个线性无关的 $n$ 维向量的性质(C017)

问题

已知,$n$ 个 $n$ 维向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{n}}$ 线 ,则行列式 $\textcolor{cyan}{\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|}$ 具有什么特点?

选项

[A].   $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $>$ $1$

[B].   $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $>$ $0$

[C].   $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $=$ $0$

[D].   $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $\neq$ $0$


上一题 - 荒原之梦   答 案   下一题 - 荒原之梦

$\textcolor{cyan}{\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|}$ $\textcolor{red}{\neq}$ $0$

向量组线性无关的充要条件:所形成的矩阵的秩(C017)

问题

若向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线 ,则以下关于 $\textcolor{cyan}{\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})}$ 的结论中, 的是哪个?

选项

[A].   $\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})$ $\geqslant$ $m$

[B].   $\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})$ $\leqslant$ $m$

[C].   $\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})$ $<$ $m$

[D].   $\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})$ $=$ $m$


上一题 - 荒原之梦   答 案   下一题 - 荒原之梦

向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
$\textcolor{cyan}{\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})}$ $\textcolor{red}{=}$ $\textcolor{orange}{m}$

向量组线性无关的充要条件:齐次线性方程组的解(C017)

问题

若向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线 ,则对应的齐次线性方程组 $x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $x_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}$ $=$ $(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha_{m}})$ $\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{array}\right)$ $=$ $\mathbf{0}$ 的 应该具有什么

选项

[A].   无解

[B].   有非零解

[C].   只有零解

[D].   有实数解


上一题 - 荒原之梦   答 案   下一题 - 荒原之梦

向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
对应的 线 方程组

向量组线性无关的充要条件:向量间的线性表示(C017)

问题

若向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线 ,则以下说法 的是哪个?

选项

[A].   任意一个向量都可由其余向量线性表示

[B].   至少存在一个向量可由其余向量线性表示

[C].   任意一个向量均不能由其余向量线性表示

[D].   至少存在一个向量不可由其余向量线性表示


上一题 - 荒原之梦   答 案   下一题 - 荒原之梦

向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
向量 由其余向量 线

$n$ $+$ $1$ 个 $n$ 维向量的性质(C016)

问题

根据向量组线性相关的性质,对于 $\textcolor{orange}{n + 1}$ 个 $\textcolor{cyan}{n}$ 维向量而言,以下结论中, 的是哪个?

选项

[A].   可能线性相关

[B].   一定线性无关

[C].   一定线性相关

[D].   可能线性无关


上一题 - 荒原之梦   答 案   下一题 - 荒原之梦

$\textcolor{orange}{n + 1}$ 个 $\textcolor{cyan}{n}$ 维向量 线

$n$ 个线性相关的 $n$ 维向量的性质(C016)

问题

已知,$n$ 个 $n$ 维向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{n}}$ 线 ,则行列式 $\textcolor{cyan}{\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|}$ 具有什么特点?

选项

[A].   $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $=$ $0$

[B].   $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $>$ $1$

[C].   $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $>$ $0$

[D].   $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $\neq$ $0$


上一题 - 荒原之梦   答 案   下一题 - 荒原之梦

$\textcolor{cyan}{\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|}$ $\textcolor{red}{=}$ $0$