$n$ $+$ $1$ 个 $n$ 维向量的性质(C016)

问题

根据向量组线性相关的性质,对于 $\textcolor{orange}{n + 1}$ 个 $\textcolor{cyan}{n}$ 维向量而言,以下结论中, 的是哪个?

选项

[A].   可能线性相关

[B].   一定线性无关

[C].   一定线性相关

[D].   可能线性无关


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$\textcolor{orange}{n + 1}$ 个 $\textcolor{cyan}{n}$ 维向量 线

$n$ 个线性相关的 $n$ 维向量的性质(C016)

问题

已知,$n$ 个 $n$ 维向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{n}}$ 线 ,则行列式 $\textcolor{cyan}{\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|}$ 具有什么特点?

选项

[A].   $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $\neq$ $0$

[B].   $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $=$ $0$

[C].   $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $>$ $1$

[D].   $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $>$ $0$


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$\textcolor{cyan}{\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|}$ $\textcolor{red}{=}$ $0$

向量组线性相关的充要条件:所形成的矩阵的秩(C016)

问题

若向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线 ,则以下关于 $\textcolor{cyan}{\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})}$ 的结论中, 的是哪个?

选项

[A].   $\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})$ $<$ $m$

[B].   $\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})$ $\geqslant$ $m$

[C].   $\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})$ $\leqslant$ $m$

[D].   $\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})$ $=$ $m$


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向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
$\textcolor{cyan}{\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})}$ $\textcolor{red}{<}$ $\textcolor{orange}{m}$

向量组线性相关的充要条件:齐次线性方程组的解(C016)

问题

若向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线 ,则对应的齐次线性方程组 $x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $x_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}$ $=$ $(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha_{m}})$ $\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{array}\right)$ $=$ $\mathbf{0}$ 的 应该具有什么

选项

[A].   有实数解

[B].   无解

[C].   只有零解

[D].   有非零解


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向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
对应的 线 方程组有

向量组线性相关的充要条件:向量间的线性表示(C016)

问题

若向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线 ,则以下说法 的是哪个?

选项

[A].   不存在任何一个可由其余向量线性表示的向量

[B].   任意一个向量都可由其余向量线性表示

[C].   只能存在一个向量可由其余向量线性表示

[D].   至少存在一个向量可由其余向量线性表示


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向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
一个向量可由 向量 线


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