1 月 2023 - 第5页共7页

$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充要条件： $A$ $B$ （C010）

问题

已知，

A

和

B

均为

n

阶方阵，则当

A

B

满足如下哪个条件时，可以判断矩阵

A

可逆？

选项

[A].

A

B

=

B

[B].

A

B

=

A

[C].

| A B |

=

1

[D].

A

B

=

E

答案

$A$ $B$ $=$ $E$
或
$B$ $A$ $=$ $E$

$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充要条件： $| A |$ （C010）

问题

已知，

A

为

n

阶方阵，则当矩阵

A

的行列式

| A |

满足如下哪个条件时，可以判断矩阵

A

可逆？

选项

[A].

| A |^{2}

=

1

[B].

| A |

=

1

[C].

| A |

=

0

[D].

| A |

\neq

0

答案

$n$ 阶方阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $| A |$ $\neq$ $0$

非奇异矩阵指的是什么？（C010）

问题

在线性代数中，非奇异矩阵指的是什么？

选项

[A]. 可逆矩阵

[B]. 转置矩阵

[C]. 伴随矩阵

[D]. 不可逆矩阵

答案

可逆矩阵有时候也被称为“非奇异矩阵”。

逆矩阵的定义（C010）

问题

已知矩阵

A

和矩阵

B

均为

n

阶方阵，则以下哪个条件的成立可使矩阵

A

与

B

成为互逆矩阵？

选项

[A].

A

B

=

B

A

=

E

[B].

A

B

=

E

[C].

A

B

=

-

B

A

[D].

A

B

=

B

A

答案

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，如果存在 $n$ 阶矩阵 $B$ , 使得：
$A$ $B$ $=$ $B$ $A$ $=$ $E$

则称 $A$ 为可逆矩阵或非奇异矩阵，并称 $B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记作 $B$ $=$ $A^{- 1}$ .

当然， $A$ 也可以称为 $B$ 的逆矩阵，记作 $A$ $=$ $B^{- 1}$ .

可逆矩阵的表示方法（C010）

问题

已知

A

为

n

阶可逆矩阵。则，以下哪个选项是矩阵

A

的逆矩阵的正确表示方法？

选项

[A].

A^{*}

[B].

A^{⊤}

[C].

A^{- 1}

[D].

A^{- ⊤}

答案

$A^{- 1}$ 表示矩阵 $A$ 的逆矩阵

可逆矩阵的行列特征（C010）

问题

已知

m

和

n

均为常数，

A

表示矩阵，则以下哪个行列特征结构的矩阵

A

最有可能是可逆矩阵？

选项

[A].

A_{1 \times m}

[B].

A_{n \times m}

[C].

A_{n \times 1}

[D].

A_{n \times n}

答案

$A_{n \times n}$ 或者 $A_{m \times m}$

伴随矩阵的性质： $(A + B)^{}$ 与 $A^{}$ $+$ $B^{*}$ （C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，

(A + B)^{*}

与

A^{*}

+

B^{*}

是否相等？

选项

[A]. 相等

[B]. 不相等

答案

不相等
$(A + B)^{*}$ $\neq$ $A^{*}$ $+$ $B^{*}$

用逐步简化的方法记忆泰勒公式（泰勒定理）

一、问题描述

泰勒公式在极限运算、无穷小代换等方面的解题过程中都有着重要的作用，但对泰勒公式的记忆有时候却很麻烦——在本文中，荒原之梦网为大家提供一种通过“逐步简化”的方法来记忆泰勒公式的步骤，以加强我们对于泰勒公式的掌握。

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伴随矩阵的性质： ${(A^{})}^{}$ （C009）

问题

已知，矩阵

A

是三阶或者大于三阶的方阵，

n

为矩阵

A

的阶数，则

{(A^{*})}^{*}

=

?

选项

[A].

{(A^{*})}^{*}

=

| A |^{n - 2}

A

[B].

{(A^{*})}^{*}

=

\frac{1}{| A |^{n - 2}}

A

[C].

{(A^{*})}^{*}

=

| A |

A

[D].

{(A^{*})}^{*}

=

| A |^{n - 1}

A

答案

${(A^{*})}^{*}$ $=$ ${| A |}^{n - 2}$ $A$
其中， $n$ 为矩阵 $A$ 的阶数， $n$ $\geq$ $3$ .

伴随矩阵的性质： ${(A^{})}^{T}$ 与 ${(A^{T})}^{}$ 的关系（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，

{(A^{*})}^{T}

与

{(A^{T})}^{*}

是否相等？

选项

[A]. 不相等

[B]. 相等

答案

相等
${(A^{*})}^{T}$ $=$ ${(A^{T})}^{*}$

伴随矩阵的性质： ${(A^{})}^{- 1}$ 与 ${(A^{- 1})}^{}$ 的值（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，我们知道：

{(A^{*})}^{- 1}

=

{(A^{- 1})}^{*}

那么， ${(A^{*})}^{- 1}$ $=$ ${(A^{- 1})}^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].

{(A^{*})}^{- 1}

=

{(A^{- 1})}^{*}

=

\frac{1}{| A |^{2}} A

[B].

{(A^{*})}^{- 1}

=

{(A^{- 1})}^{*}

=

| A | A

[C].

{(A^{*})}^{- 1}

=

{(A^{- 1})}^{*}

=

\frac{1}{| A |} A

[D].

{(A^{*})}^{- 1}

=

{(A^{- 1})}^{*}

=

\frac{- 1}{| A |} A

答案

${(A^{*})}^{- 1}$ $=$ ${(A^{- 1})}^{*}$ $=$ $\frac{1}{| A |} A$

伴随矩阵的性质： ${(A^{})}^{- 1}$ 与 ${(A^{- 1})}^{}$ 的关系（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，

{(A^{*})}^{- 1}

与

{(A^{- 1})}^{*}

是否相等？

选项

[A]. 不相等

[B]. 相等

答案

相等

${(A^{*})}^{- 1}$ $=$ ${(A^{- 1})}^{*}$

异曲同工： $1$ $+$ $\tan^{2} α$ 与 $(\tan α)^{'}$

一、前言

在数学中，通过寻找不同的公式之间的相同点或者差异点，可以让我们对公式的记忆与理解更加深入，例如：

$1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α}$

$(\tan α)^{'} = \frac{1}{\cos^{2} α}$

即：

$1 + \tan^{2} α = (\tan α)^{'}$

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伴随矩阵的性质： $A A^{}$ 与 $A^{} A$ 的值（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，已知：

A A^{*}

=

A^{*} A

则， $A A^{*}$ $=$ $A^{*} A$ $=$ $?$

选项

[A].

A A^{*}

=

A^{*} A

=

| A |

[B].

A A^{*}

=

A^{*} A

=

| A | E

[C].

A A^{*}

=

A^{*} A

=

- | A | E

[D].

A A^{*}

=

A^{*} A

=

E

答案

$A A^{*}$ $=$ $A^{*} A$ $=$ $| A | E$

用一个小技巧牢记求导公式 $(u v)^{'}$ $=$ $u^{'} v$ $+$ $u v^{'}$

一、问题描述

已知函数 $u$ $=$ $u (x)$ , $v$ $=$ $v (x)$ , 则针对 $(u v)^{'}$ 的求导计算公式如下：

$(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$

但是，由于一些原因，有时候我们可能会无法确定 $(u v)^{'}$ 到底是等于 $u^{'} v$ $+$ $u v^{'}$ 还是等于 $u^{'} v$ $-$ $u v^{'}$

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