1 月 2023 - 第5页共7页

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件：$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，则当 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$ 满足如下哪个条件时，可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{B}$

[B]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $| \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} |$ $=$ $1$

[D]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

答案

$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{white}{E}}$
或
$\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{white}{E}}$

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件：$|\boldsymbol{A}|$（C010）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，则当矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $\textcolor{orange}{|\boldsymbol{A}|}$ 满足如下哪个条件时，可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆？

选项

[A]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $0$

[B]. $|\boldsymbol{A}|$ $\neq$ $0$

[C]. $|\boldsymbol{A}|^{2}$ $=$ $1$

[D]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $1$

答案

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $\textcolor{orange}{|\boldsymbol{A}|}$ $\textcolor{red}{\neq}$ $\textcolor{cyan}{0}$

非奇异矩阵指的是什么？（C010）

问题

在线性代数中，非奇异矩阵指的是什么？

选项

[A]. 伴随矩阵

[B]. 不可逆矩阵

[C]. 可逆矩阵

[D]. 转置矩阵

答案

可逆矩阵有时候也被称为“非奇异矩阵”。

逆矩阵的定义（C010）

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，则以下哪个条件的成立可使矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 成为互逆矩阵？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

[B]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $-$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$

[D]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

答案

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，如果存在 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$, 使得：
$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{red}{E}}$

则称 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵或非奇异矩阵，并称 $\boldsymbol{B}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵，记作 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{-1}$.

当然，$\boldsymbol{A}$ 也可以称为 $\boldsymbol{B}$ 的逆矩阵，记作 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{-1}$.

可逆矩阵的表示方法（C010）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵。则，以下哪个选项是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵的正确表示方法？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}^{\top}$

[B]. $\boldsymbol{A}^{-1}$

[C]. $\boldsymbol{A}^{- \top}$

[D]. $\boldsymbol{A}^{*}$

答案

$\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{-1}}$ 表示矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵

可逆矩阵的行列特征（C010）

问题

已知 $m$ 和 $n$ 均为常数，$\boldsymbol{A}$ 表示矩阵，则以下哪个行列特征结构的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 最有可能是可逆矩阵？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}_{n \times m}$

[B]. $\boldsymbol{A}_{n \times 1}$

[C]. $\boldsymbol{A}_{n \times n}$

[D]. $\boldsymbol{A}_{1 \times m}$

答案

$\boldsymbol{A}_{\textcolor{orange}{n} \times \textcolor{orange}{n}}$ 或者 $\boldsymbol{A}_{\textcolor{cyan}{m} \times \textcolor{cyan}{m}}$

伴随矩阵的性质：$(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{}$ 与 $\boldsymbol{A}^{}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{*}$（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，$(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{*}$ 与 $\boldsymbol{A}^{*}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{*}$ 是否相等？

选项

[A]. 不相等

[B]. 相等

答案

不相等
$(\boldsymbol{A} \textcolor{cyan}{+} \boldsymbol{B})^{\textcolor{orange}{*}}$ $\textcolor{red}{\neq}$ $\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}$ $\textcolor{cyan}{+}$ $\boldsymbol{B}^{\textcolor{orange}{*}}$

用逐步简化的方法记忆泰勒公式（泰勒定理）

一、问题描述

泰勒公式在极限运算、无穷小代换等方面的解题过程中都有着重要的作用，但对泰勒公式的记忆有时候却很麻烦——在本文中，荒原之梦网为大家提供一种通过“逐步简化”的方法来记忆泰勒公式的步骤，以加强我们对于泰勒公式的掌握。

继续阅读

伴随矩阵的性质：$\left(\boldsymbol{A}^{}\right)^{}$（C009）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是三阶或者大于三阶的方阵，$n$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的阶数，则 $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $\boldsymbol{A}$

[B]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n-1}$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n-2}$ $\boldsymbol{A}$

[D]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|^{n-2}}$ $\boldsymbol{A}$

答案

$\left(\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}\right)^{\textcolor{orange}{*}}$ $=$ $\textcolor{red}{|\boldsymbol{A}|}^{\textcolor{cyan}{n-2}}$ $\boldsymbol{\textcolor{white}{A}}$
其中，$n$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的阶数，$n$ $\geq$ $3$.

伴随矩阵的性质：$\left(\boldsymbol{A}^{}\right)^{\mathrm{T}}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{}$ 的关系（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{\mathrm{T}}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{*}$ 是否相等？

选项

[A]. 不相等

[B]. 相等

答案

相等
$\left(\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}\right)^{\mathrm{\textcolor{cyan}{T}}}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\textcolor{cyan}{T}}}\right)^{\textcolor{orange}{*}}$

伴随矩阵的性质：$\left(\boldsymbol{A}^{}\right)^{-1}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{}$ 的值（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，我们知道：
$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$

那么，$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|^{2}} \boldsymbol{A}$

[B]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A}$

[C]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}$

[D]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $\frac{-1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}$

答案

$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $\textcolor{orange}{\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}} \textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$

伴随矩阵的性质：$\left(\boldsymbol{A}^{}\right)^{-1}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{}$ 的关系（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ 是否相等？

选项

[A]. 不相等

[B]. 相等

答案

相等

$\left(\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}\right)^{\textcolor{gray}{-1}}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{\textcolor{gray}{-1}}\right)^{\textcolor{orange}{*}}$

异曲同工：$1$ $+$ $\tan^{2} \alpha$ 与 $(\tan \alpha)^{\prime}$

一、前言

在数学中，通过寻找不同的公式之间的相同点或者差异点，可以让我们对公式的记忆与理解更加深入，例如：

$$
1 + \tan^{2} \alpha = \textcolor{orange}{\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}}
$$

$$
(\tan \alpha)^{\prime} = \textcolor{orange}{\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}}
$$

即：

$$
1 + \tan^{2} \alpha \textcolor{red}{=} (\tan \alpha)^{\prime}
$$

继续阅读

伴随矩阵的性质：$\boldsymbol{A A}^{}$ 与 $\boldsymbol{A}^{} \boldsymbol{A}$ 的值（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，已知：
$\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$

则，$\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $- |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}$

[B]. $\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

[C]. $\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$

[D]. $\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}$

答案

$\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $\textcolor{orange}{|\boldsymbol{A}|} \textcolor{cyan}{\boldsymbol{E}}$

用一个小技巧牢记求导公式 $(u v)^{\prime}$ $=$ $u^{\prime} v$ $+$ $u v^{\prime}$

一、问题描述

已知函数 $u$ $=$ $u(x)$, $v$ $=$ $v(x)$, 则针对 $(u v)^{\prime}$ 的求导计算公式如下：

$$
(u v)^{\prime} = u^{\prime} v + u v^{\prime}
$$

但是，由于一些原因，有时候我们可能会无法确定 $(u v)^{\prime}$ 到底是等于 $u^{\prime} v$ $\textcolor{orange}{+}$ $u v^{\prime}$ 还是等于 $u^{\prime} v$ $\textcolor{red}{-}$ $u v^{\prime}$

继续阅读