一、题目
$$
I=\int_{0}^{1} x^{4} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \mathrm{~d} x=?
$$
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继续阅读“有根号有平方:三角代换用起来!”在考研数学中,有些题目可以使用配方法对原式进行恒等变形,从而挖掘出解题的隐含条件——用好配方法,可以大大加快解题速度。
在本文中,荒原之梦网(zhaokaifeng.com)将用简单有效的表述阐述清楚什么是配方法,以及如何使用配方法。
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继续阅读“挖掘题目隐含条件的利器:配方法”已知 $f(x)$ 一阶可导, $f(x)>0$, $f^{\prime}(x)>0$, 则当 $\Delta x>0$ 时,$\int_{x}^{x + \Delta x} f(t) \mathrm{d} t$, $f(x) \Delta x$ 和 $0$ 的大小关系如何?
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继续阅读“这个不等式反映了积分的本质原理”已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$, 则 $F(x)$ 在 $(-1,1)$ 区间上具有什么特征?
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继续阅读“有界震荡间断点处是可积的”已知 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的一个原函数, 则据此能得出 $f(x)+F(x)$ 在 $(a, b)$ 内的哪些性质?
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继续阅读“原函数和导数之间的那些性质都在这道题里了”证明下面两个式子是成立的:
1.
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x<1
$$
2.
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x>1
$$
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继续阅读“你会判断积分不等式和某个数字之间的大小关系吗?”证明下面两个结论:
1.
$$
\int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x>0
$$
2.
$$
\int_{0}^{2 \pi} \cos x \cdot \ln (2+\cos x) \mathrm{d} x>0
$$
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继续阅读“你会判断积分不等式的正负性吗?”我们知道,当 $f(-x) = f(x)$ 时,该函数是偶函数,当 $f(-x) = -f(x)$ 时,该函数是奇函数。
但是,对于一些复杂的函数,直接使用上面的公式判断会过于复杂——如果理解并掌握了本文中提到的口诀,在很多时候可以帮助我们快速判断一些函数的奇偶性。
继续阅读“快速判断函数奇偶性的方式汇总(包含易记口诀)”已知 $f(t)=\int_{0}^{t} \mathrm{~d} x \int_{x}^{t} \mathrm{e}^{t y^{2}} \mathrm{~d} y$, 则 $f^{\prime}(1)=?$
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继续阅读“这道题看似是一道变限积分求导题,其实是一道二重积分计算题”已知 $f(0)=0$, $f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 为严格单调增函数,则函数 $g(x)=\frac{1-f(x)}{x}$ 在 $(0$, $+\infty)$ 上是单调递增还是单调递减?
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继续阅读“你能看出这道题该用哪个中值定理吗?”已知 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 $n$ 维列向量,则以下说法中正确的是哪个?
(i) $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\top}=\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\top}$
(ii) $\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}^{\top} \boldsymbol{\alpha}$
(iii) $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\top}=\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\beta}$
(iiii) $\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\top}=\boldsymbol{\beta}^{\top} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\top}$
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继续阅读“这道“转置”题,你转晕了嘛?”下面的向量组中,线性相关的和线性无关的向量组分别是哪些?
(i) $(1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $(3,-1,5)^{\mathrm{\top}}$, $(0,4,-2)^{\mathrm{\top}}$, $(1,3,0)^{\mathrm{\top}}$
(ii) $(a, 1, b, 0,0)^{\mathrm{\top}}$, $(c, 0, d, 2,0)^{\mathrm{\top}}$, $(e, 0, f, 0,3)^{\mathrm{\top}}$
(iii) $(a, 1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $(b, 1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $(c, 3,4,5)^{\mathrm{\top}}$, $(d, 0,0,0)^{\mathrm{\top}}$
(iiii) $(1,0,3,1)^{\mathrm{\top}}$, $(-1,3,0,-2)^{\mathrm{\top}}$, $(2,1,7,2)^{\mathrm{\top}}$, $(4,2,14,5)^{\mathrm{\top}}$
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继续阅读“向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关:四个三维列向量一定线性相关”