分类： 考研数学

一、题目

已知 $A, B$ 都是不等于零的常数, 则微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ 有特解：

(A) $y^{*}=x \mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$
(B) $y^{*}=\mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$
(C) $y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \cos 2 x$
(D) $y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \sin 2 x$

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继续阅读“不要被这道题题目中所用的变量名迷惑了哦”

一、题目

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二、解析

§2.1 基础回顾

我们知道，对于形如 $y^{ \prime \prime }$ $+$ $p y^{ \prime }$ $+$ $q y$ $=$ $f (x)$ 的二阶常系数非齐次微分方程，如果 $P_{n} (x)$ 是一个 $n$ 词多项式，且：

$$
f (x) = P_{n} (x) \textcolor{magenta}{ \mathrm{e}^{\alpha x} } \textcolor{orange}{ \sin \beta x }
$$

或者：

$$
f (x) = P_{n} (x) \textcolor{magenta}{ \mathrm{e}^{\alpha x} } \textcolor{orange}{ \cos \beta x }
$$

则该二阶微分方程的特解 $y ^{*}$ 可以设为：

$$
y^{*} (x) = x^{\textcolor{white}{\colorbox{green}{ k }} } \textcolor{magenta}{ \mathrm{e}^{ \alpha x } } \left[ \textcolor{springgreen}{ Q_{n} (x) } \textcolor{orange}{ \cos \beta x } + \textcolor{springgreen}{ W_{n} (x) } \textcolor{orange}{ \sin \beta x } \right]
$$

其中：
[*]. 若 $\textcolor{magenta}{ \alpha } \pm i \textcolor{orange}{ \beta }$ 不是该微分方程的特征根，则 $\textcolor{white}{\colorbox{green}{ k = 0 }}$;
[**]. 若 $\textcolor{magenta}{ \alpha } \pm i \textcolor{orange}{ \beta }$ 是该微分方程的特征根，则 $\textcolor{white}{\colorbox{green}{ k = 1 }}$;
[***]. $\textcolor{springgreen}{ Q_{n}\left(x\right) }$ 和 $\textcolor{springgreen}{ W_{n}\left(x\right) }$ 为 $n$ 次多项式的一般形式。

§2.2 解题过程

从上面的基础知识我们知道，要设微分方程的特解，就要先求出来该微分方程对应的特征值，于是：

$$
\require{extpfeil}\Newextarrow{\xRightarrow}{5,5}{0x21D2}
\begin{aligned}
& y^{ \prime \prime } + b^{2} y = \sin x \\ \\
\Rightarrow & \lambda^{2} + b^{2} = 0 \\ \\
\xRightarrow{\mathrm{i} ^{2} = -1 \ } & \begin{cases}
\lambda_{1} = + b \mathrm{i} \\
\lambda_{2} = – b \mathrm{i}
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
\lambda_{1} = 0 + b \mathrm{i} \\
\lambda_{2} = 0 – b \mathrm{i}
\end{cases}
\end{aligned}
$$

由于：

$$
\begin{aligned}
y ^ { \prime \prime } + b ^ { 2 } y & = \sin x \\ \\
\Rightarrow y ^ { \prime \prime } + b ^ { 2 } y & = \textcolor{springgreen}{ 1 } \cdot \textcolor{magenta}{\mathrm{e} ^{0x}} \cdot \textcolor{orange}{ \sin 1 x } \\ \\
\Rightarrow y ^ { \prime \prime } + b ^ { 2 } y & = \textcolor{springgreen}{ P_{n} (x) } \cdot \textcolor{magenta}{ \mathrm{e}^{\alpha x} } \textcolor{orange}{ \sin \beta x } \\ \\
& \Rightarrow \begin{cases}
\alpha = 0 \\
\beta = 1
\end{cases}
\end{aligned}
$$

于是可知，当特征值中的 $b$ 等于 $1$ 的时候，特征值 $0 \pm \mathrm{i}$ 刚好等于 $\alpha \pm \mathrm{i} \beta$, 所以，我们需要分情况讨论 $b$ 的取值：

[01]. 当 $b = 1$ 时

特解可以设为：

$$
\textcolor{orange}{
y^{*} = A x \cos x + B x \sin x
} \tag{1}
$$

将上面的 $(1)$ 式代入原微分方程 $y ^ { \prime \prime }$ $+$ $b ^ { 2 } y$ $=$ $\sin x$, 计算步骤如下：

$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
\textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} = A x \cos x \\
\textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} = Bx \sin x
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
\left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} \right) ^{\prime} = A \cos x – A x \sin x \\
\left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) ^{\prime} = B \sin x + B x \cos x
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
\left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} \right) ^{\prime \prime} = -2A \sin x – A x \cos x \\
\left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) ^{\prime \prime} = 2B \cos x – B x \sin x
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & y ^ { \prime \prime } + b ^ { 2 } y = \sin x \\ \\
\Rightarrow & \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} \right) ^{\prime \prime} + \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) ^{\prime \prime} + b ^{2} \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} + \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) = \sin x \\ \\
\xRightarrow{b = 1 \ } & \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} \right) ^{\prime \prime} + \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) ^{\prime \prime} + \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} + \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) = \sin x \\ \\
\Rightarrow & -2A \sin x + 2B \cos x = \sin x \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
-2A = 1 \\
2B = 0
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{ \begin{cases}
A = – \frac { 1 } { 2 } \\
B = 0
\end{cases} }
\end{aligned}
$$

于是，此时微分方程的特解为：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
y = – \frac{1}{2} \textcolor{white}{\colorbox{green}{x}} \cos x
}
}
$$

[02]. 当 $b \neq 1$ 时

特解可以设为：

$$
\textcolor{orange}{
y^{*} = C \cos x + D \sin x
} \tag{2}
$$

将上面的 $(2)$ 式代入原微分方程 $y ^ { \prime \prime }$ $+$ $b ^ { 2 } y$ $=$ $\sin x$, 计算步骤如下：

$$
\begin{aligned}
& y^{ \prime \prime } + b^{ 2 } y = \sin x \\ \\
\Rightarrow & -C \cos x – D \sin x + b ^{2} \left( C \cos x + D \sin x \right) = \sin x \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
-D + b ^{2} D = 1 \\
-C + b ^{2} C = 0
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{ \begin{cases}
C = 0 \\
D = \frac { 1 } { b ^ { 2 } – 1 }
\end{cases} } \\ \\
\end{aligned}
$$

于是，此时微分方程的特解为：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
y = \frac{1} { a^{2} – 1 } \sin x
}
}
$$

---

一、题目

已知 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的两个特解, $C_{1}, C_{2}$是两个任意常数, 则 $C_{1} f_{1}(x)+C_{2} f_{2}(x)$ 是该方程通解的充分条件是：

(A) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x)=0$
(B) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x)=0$
(C) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$
(D) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$

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继续阅读“只有线性无关的解才能组合形成齐次微分方程的通解”

一、题目

已知 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的两个不同的特解，则该方程的通解为：

(A) $y=C y_{1}(x)$
(B) $y=C y_{2}(x)$
(C) $y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)$
(D) $y=C\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right)$

难度评级：

继续阅读“只有齐次线性方程组的解相减得到的解才一定是新的解”

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \geqslant 0 \\ \cos x, & x<0\end{array}\right.$, $\quad g(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$, 则在区间 $(-1,1)$ 上

(A) $f(x)$ 与 $g(x)$ 都存在原函数
(B) $f(x)$ 与 $g(x)$ 都不存在原函数
(C) $f(x)$ 不存在原函数, $g(x)$ 存在原函数
(D) $f(x)$ 存在原函数, $g(x)$ 不存在原函数

难度评级：

继续阅读“不连续的函数可能有导数，但只有连续的函数才会一定有原函数”

一、题目

函数 $F(x)=\int_{x}^{x+\pi} \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t \mathrm{~d} t$

(A) 一定为正数

(B) 一定为负数

(C) 恒为零

(D) 不是常数

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继续阅读“具有周期性并不意味着周期上的积分就一定等于零”

一、题目

已知 $f(x)$ 为以 $T$ 为周期的非零连续函数, $\Phi(x)=\int_{a}^{x}[f(t)-f(-t)] \mathrm{d} t, a$ 是常数, 则 $\Phi(x)$ 是的周期是多少？$\Phi(x)$ 是奇函数还是偶函数？

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继续阅读“偶函数减偶函数等于奇函数？”

一、题目

下列说法中错误的是哪个？

(A) 设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续为奇函数, 则 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上的全体原函数为偶函数

(B) 设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续为偶函数, 则 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上的全体原函数为奇函数

(C) 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 以 $T$ 为周期且为奇函数, 则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 也是以 $T$ 为周期的函数

(D) 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 以 $T$ 为周期, 又 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛, 则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 也是以 $T$ 为周期的函数

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继续阅读“奇函数必须关于原点斜对称（一般情况下奇函数在原点处都有定义）”

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{4+x}, & x>0 \\ 0, & x=0, \\ \sqrt{1-x}, & x<0\end{array}\right.$ $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$, 则以下结论正确的是哪个？

(A) $F(x)$ 在 $x=0$ 点不连续

(B) $F(x)$ 在 $x=0$ 点不可导

(C) $F(x)$ 在 $x=0$ 点可导, $F^{\prime}(0)=f(0)$

(D) $F(x)$ 在 $x=0$ 点可导, 但 $F^{\prime}(0) \neq f(0)$

难度评级：

继续阅读“判断变上限积分函数是否在某点处可导的三种方法示例”

一、题目

已知 $n, m$ 为正整数，则关于 $I\_{n, m}=\int\_{0}^{1} x^{n} \ln ^{m} x \mathrm{~d} x$, 以下说法正确的是哪个？

(A) 是定积分且值为 $\frac{(-1)^{n} n !}{(n+1)^{m}}$

(B) 是定积分且值为 $\frac{(-1)^{m} m !}{(n+1)^{m+1}}$

(C) 是反常积分且发散

(D) 是反常积分且值为 $\frac{(-1)^{m} m !}{(n+1)^{m+1}}$

难度评级：

继续阅读“包含无定义点的积分也可能是定积分”

一、题目

已知 $n$ 和 $m$ 为常数，则：

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{n} (\ln x)^{m} = ?
$$

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继续阅读“这个结论直接记住即可：无论 x 和 ln x 各自的几次方相乘，结果一定得零”

一、题目

下面四个式子的解法都是错误的，请分析错误的原因并给出正确的解法：

(1) $\int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin ^{3} x-\sin ^{5} x} \mathrm{~d} x$ $=$ $\int_{0}^{\pi} \sin ^{\frac{3}{2}} x \cos x \mathrm{~d} x=\left.\frac{2}{5} \sin ^{\frac{5}{2}} x\right|_{0} ^{\pi}=0$

(2) $\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{x}$ $=$ $\left.\ln |x|\right|_{-1} ^{1}=0$

(3) $\int_{0}^{\pi} \frac{\sec ^{2} x}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x$ $=$ $\left.\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right|_{0} ^{\pi}=0$

(4) $\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\arctan \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ $=$ $\left.\arctan \frac{1}{x}\right|_{-1} ^{1}=\frac{\pi}{2}$

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继续阅读“什么情况下牛顿-莱布尼兹公式（定积分）不起作用？”