这个结论直接记住即可：无论 x 和 ln x 各自的几次方相乘，结果一定得零

一、题目

已知 $n$ 和 $m$ 为常数，则：

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{n} (\ln x)^{m} = ?
$$

难度评级：

二、解析

当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时：

$$
x^{n}(\ln x)^{m}=\frac{(\ln x)^{m}}{x^{-n}}=
$$

$$
\frac{m(\ln x)^{m-1} \cdot \frac{1}{x}}{-n x^{-n-1}}=
$$

$$
\frac{m(\ln x)^{m-1}}{x} \cdot \frac{x^{n+1}}{-n}=
$$

$$
\frac{m \cdot \textcolor{springgreen}{ x^{n}(\ln x)^{m-1} } }{-n}
$$

其中：

$$
x^{n} \cdot(\ln x)^{m-1}=
$$

$$
\frac{(\ln x)^{m-1}}{x^{-n}}=
$$

$$
\frac{(m-1)(\ln x)^{m-2}}{x} \cdot \frac{x^{n+1}}{-n}=
$$

$$
\frac{(m-1) x^{n} \cdot(\ln x)^{m-2}}{-n}
$$

于是：

$$
x^{n}(\ln x)^{m}=\frac{m(m-1) \cdot x^{n}(\ln x)^{m-2}}{(-n) \cdot(-n)} = \cdots =
$$

$$
x^{n}(\ln x)^{m}=\frac{m(m-1) \cdot(m-2) \cdots(\ln x)^{m-m} \cdot x^{n}}{(-n)(-n)(-n) \cdots}=
$$

$$
\text{ 常数 } \cdot 0 = 0
$$

综上：

$$
\textcolor{springgreen}{
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{n}(\ln x)^{m} \Rightarrow 0 \cdot \infty \Rightarrow 0
}
$$

---