奇函数必须关于原点斜对称（一般情况下奇函数在原点处都有定义）

一、题目

下列说法中错误的是哪个？

(A) 设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续为奇函数, 则 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上的全体原函数为偶函数

(B) 设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续为偶函数, 则 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上的全体原函数为奇函数

(C) 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 以 $T$ 为周期且为奇函数, 则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 也是以 $T$ 为周期的函数

(D) 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 以 $T$ 为周期, 又 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛, 则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 也是以 $T$ 为周期的函数

难度评级：

二、解析

求导或者积分会改变奇偶性，奇函数的原函数一定是偶函数，A 对；

由于奇函数必须关于原点斜对称，而偶函数可以不经过原点，因此，不是非奇函数的导数也可能是偶函数，例如 $y = x^{3} + 1$ 的导数 $y^{\prime} = 3x^{2}$ 就是一个偶函数，但是 $y = x^{3} + 1$ 并不是奇函数，B 错；

变限积分不会改变函数的周期，C、D 对。

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